Exercício 8 Considere
das funções de classe
. Considere
o conjunto das funções
que são soluçõ̃es da equação diferencial
Mostre que
é subespaço de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto S das soluções de classe C^{2} da EDO
é um subespaço do espaço vetorial C^{2}(ℝ). O conteúdo é teoria de espaços vetoriais e EDOs lineares; vamos usar a definição de subespaço, que exige: 1) conter o vetor zero, 2) ser fechado sob soma e 3) ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Primeiro, verificamos que a função zero y_{0}(x)=0 pertence a S. De fato, como y_{0}’’(x)=0 e y_{0}(x)=0, temos:
Logo, y_{0} satisfaz a EDO e pertence a S.
Passo 3
Agora, seja y_{1} e y_{2} duas soluções em S. Queremos mostrar que y_{1}+y_{2} também está em S. Como cada uma satisfaz y_{i}’’+y_{i}=0, temos:
Portanto, y_{1}+y_{2} é solução e pertence a S, mostrando a fechadura sob soma.
Passo 4
Finalmente, seja α∈ℝ e y∈S. Vamos ver que αy∈S. Calculamos:
Isso mostra que αy satisfaz a EDO, logo S é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 5
Como S contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, pelo critério de subespaço, concluímos que S é de fato um subespaço de C^{2}(ℝ).
Resposta
S é subespaço de C^{2}(ℝ).