Exercício 8 Considere mathscrC^2(R) das funções de classe C^(2) f: R R. Considere S o conjunto das funções y in mathscrC^2(R) que são soluçõ̃es da equação diferencial
y^prime prime(x)+y(x)=0
Mostre que S é subespaço de mathscrC^2(R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto S das soluções de classe C^{2} da EDO
y''(x)+y(x)=0
é um subespaço do espaço vetorial C^{2}(ℝ). O conteúdo é teoria de espaços vetoriais e EDOs lineares; vamos usar a definição de subespaço, que exige: 1) conter o vetor zero, 2) ser fechado sob soma e 3) ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, verificamos que a função zero y_{0}(x)=0 pertence a S. De fato, como y_{0}’’(x)=0 e y_{0}(x)=0, temos:
y0''(x)+y0(x)=0+0=0
Logo, y_{0} satisfaz a EDO e pertence a S.

Passo 3

Agora, seja y_{1} e y_{2} duas soluções em S. Queremos mostrar que y_{1}+y_{2} também está em S. Como cada uma satisfaz y_{i}’’+y_{i}=0, temos:
(y1+y2)''+(y1+y2)=y1''+y2''+y1+y2=(y1''+y1)+(y2''+y2)=0+0=0
Portanto, y_{1}+y_{2} é solução e pertence a S, mostrando a fechadura sob soma.

Passo 4

Finalmente, seja α∈ℝ e y∈S. Vamos ver que αy∈S. Calculamos:
(αy)''+(αy)=αy''+αy=α(y''+y)=α·0=0
Isso mostra que αy satisfaz a EDO, logo S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 5

Como S contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar, pelo critério de subespaço, concluímos que S é de fato um subespaço de C^{2}(ℝ).

Resposta

S é subespaço de C^{2}(ℝ).

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