Exercício 5 Mostre que em P(R) dos polinômios p: R R o conjunto
beta=pk, k=0,1, ldots,
é uma base, sendo p0(x) equiv 1 e pk(x)=x^k.

Passo 1

Estamos com o seguinte enunciado: provar que o conjunto β = {pₖ, k = 0,1,…} em P(ℝ), onde p₀(x)≡1 e pₖ(x)=xᵏ, é uma base. O que precisamos: recordar que uma base de um espaço vetorial deve gerar todo o espaço (span) e ser linearmente independente.

Passo 2

Para mostrar que β gera P(ℝ), tomamos um polinômio arbitrário p(x) de grau n. Pela definição de polinômio temos que existem coeficientes a₀,…,aₙ em ℝ tais que
p(x)=a₀ + a₁x + a₂x² + cdots + aₙxⁿ=sumk=0^nak,pk(x)²

Passo 3

Isso prova que p pertence ao span(β), logo span(β)=P(ℝ).

Passo 4

Agora, para ver que β é linearmente independente, suponha que para alguns escalares a₀,…,aₙ em ℝ valha
sumk=0^nak,pk(x)=a₀ + a₁x + cdots + aₙxⁿequiv0 (polinômio nulo)ô

Passo 5

Como um polinômio é identicamente zero se e somente se todos os coeficientes são zero, concluímos que a₀= a₁= …= aₙ=0. Logo, só a combinação trivial zera a soma, e β é linearmente independente.

Passo 6

Como β satisfaz geração e independência linear, por definição é uma base de P(ℝ).

Resposta

O conjunto β = {1, x, x², …} gera P(ℝ), é linearmente independente e, portanto, é uma base de P(ℝ).

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