Exercício 5 Mostre que em
dos polinômios
o conjunto
é uma base, sendo
e
.
Passo 1
Estamos com o seguinte enunciado: provar que o conjunto β = {pₖ, k = 0,1,…} em P(ℝ), onde p₀(x)≡1 e pₖ(x)=xᵏ, é uma base. O que precisamos: recordar que uma base de um espaço vetorial deve gerar todo o espaço (span) e ser linearmente independente.
Passo 2
Para mostrar que β gera P(ℝ), tomamos um polinômio arbitrário p(x) de grau n. Pela definição de polinômio temos que existem coeficientes a₀,…,aₙ em ℝ tais que
Passo 3
Isso prova que p pertence ao span(β), logo span(β)=P(ℝ).
Passo 4
Agora, para ver que β é linearmente independente, suponha que para alguns escalares a₀,…,aₙ em ℝ valha
Passo 5
Como um polinômio é identicamente zero se e somente se todos os coeficientes são zero, concluímos que a₀= a₁= …= aₙ=0. Logo, só a combinação trivial zera a soma, e β é linearmente independente.
Passo 6
Como β satisfaz geração e independência linear, por definição é uma base de P(ℝ).
Resposta
O conjunto β = {1, x, x², …} gera P(ℝ), é linearmente independente e, portanto, é uma base de P(ℝ).