Complete os seguintes subconjuntos de vetores, nos espaços correspondentes, de modo a formar um conjunto LI:
(1,1,0,0),(0,0,1,-1) em R^4;

Passo 1

O enunciado pede para estender o conjunto
v1=(1,1,0,0),,v2=(0,0,1,-1)
em R^4 até obter um conjunto de vetores linearmente independentes (LI). Como dim(R^4)=4 e já temos dois vetores LI, basta escolher mais dois vetores que não pertençam ao espaço gerado por v1 e v2.

Passo 2

Vamos escolher
u3 = (1,0,0,0), u4 = (0,0,0,1)
Precisamos checar que nem u3 nem u4 estão em spanv1,v2, pois aí poderemos estender o conjunto mantendo a independência.

Passo 3

Um vetor genérico em spanv1,v2 tem a forma
a,v1 + b,v2 = (a,a,0,0) + (0,0,b,-b) = (a,a,b,-b)
— Se u3=(1,0,0,0) estivesse no span, existiriam a,b tais que
(a,a,b,-b) = (1,0,0,0). Da segunda coordenada vem a=0, mas da primeira vem a=1. Contradição. Logo u3notinspanv1,v2.
— Se u4=(0,0,0,1) estivesse no span, teríamos (a,a,b,-b)=(0,0,0,1). Da quarta coordenada -b=1Rightarrow b=-1, mas da terceira b=0. Contradição. Então u4notinspanv1,v2.

Passo 4

Agora mostramos que v1,v2,u3,u4 é LI. Considere
alpha,v1+beta,v2+gamma,u3+de<a,u4 = (0,0,0,0)
Escrevendo coordenada a coordenada:
(alpha+gamma,;alpha,;beta,;-beta+de<a) = (0,0,0,0)
Da segunda coordenada alpha=0. Da terceira beta=0. Da primeira gamma=0. Da quarta de<a=0.
Só existe a combinação trivial, logo o conjunto é LI.

Resposta

(1,1,0,0),,(0,0,1,-1),,(1,0,0,0),,(0,0,0,1)

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