Complete os seguintes subconjuntos de vetores, nos espaços correspondentes, de modo a formar um conjunto LI:
em
;
Passo 1
O enunciado pede para estender o conjunto
em até obter um conjunto de vetores linearmente independentes (LI). Como
e já temos dois vetores LI, basta escolher mais dois vetores que não pertençam ao espaço gerado por
e
.
em
Passo 2
Vamos escolher
Precisamos checar que nem
nem
estão em
, pois aí poderemos estender o conjunto mantendo a independência.
Passo 3
Um vetor genérico em
tem a forma
— Se
estivesse no span, existiriam
tais que
. Da segunda coordenada vem
, mas da primeira vem
. Contradição. Logo
.
— Se estivesse no span, teríamos
. Da quarta coordenada
, mas da terceira
. Contradição. Então
.
— Se
Passo 4
Agora mostramos que
é LI. Considere
Escrevendo coordenada a coordenada:
Da segunda coordenada
. Da terceira
. Da primeira
. Da quarta
.
Só existe a combinação trivial, logo o conjunto é LI.
Só existe a combinação trivial, logo o conjunto é LI.