Determine, em cada caso, se os vetores são LIs ou LDs, nos respectivos espaços:
f, g in F([-1,1], R) sendo f(x)=x^2 e g(x)=x cdot|x|;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
são linearmente independentes ou dependentes. O conteúdo envolvido é definição de independência linear em espaços de funções: e são LI se a única combinação
ocorre quando .

Passo 2

Para entender melhor g, note que
g(x)=xcdot|x|= xcdot x=x^2,&x>=0, xcdot(-x)=-x^2,&x<0

Passo 3

Suponha que existam a,binR tais que
a,f(x)+b,g(x)=0forall xin[-1,1]
Para x>0 temos g(x)=x^2, então
(a+b),x^2=0forall x>0Longrightarrow a+b=0
Para x<0 temos g(x)=-x^2, então
(a-b),x^2=0forall x<0Longrightarrow a-b=0

Passo 4

Do sistema
a+b=0, a-b=0,
segue a=0 e b=0. Logo, a única combinação que gera a função zero é a trivial.

Resposta

As funções f e g são linearmente independentes.

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