Determine, em cada caso, se os vetores são LIs ou LDs, nos respectivos espaços:
(1,-2,1,0),(2,1,-1,3) e (7,-4,1,3) em R^4;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
v1=(1,-2,1,0), v2=(2,1,-1,3), v3=(7,-4,1,3)
em R^4 são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Vamos usar a definição: eles são LI se a única combinação
a,v1 + b,v2 + c,v3 = 0
for a trivial, isto é, a=b=c=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação a,v1 + b,v2 + c,v3 = (0,0,0,0) componente a componente, obtemos o sistema
a + 2b + 7c = 0, -2a + b - 4c = 0, a - b + c = 0, 0cdot a + 3b + 3c = 0

Passo 3

Da quarta equação
3b + 3c = 0
segue que
b + c = 0 Longrightarrow b = -c
Substituindo em a - b + c = 0 temos
a -(-c) + c = a + 2c = 0 Longrightarrow a = -2c

Passo 4

Agora usamos esses valores em -2a + b - 4c = 0:
-2(-2c) + (-c) - 4c = 4c - c - 4c = -c = 0 Longrightarrow c = 0
Logo b = -c = 0 e a = -2c = 0. Como só tivemos a solução trivial, não precisamos verificar a primeira equação (ela já é satisfeita por a=b=c=0).

Passo 5

Concluímos que a única solução de
a,v1 + b,v2 + c,v3 = 0
é a=b=c=0. Portanto os três vetores são linearmente independentes em R^4.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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