Determine, em cada caso, se os vetores são LIs ou LDs, nos respectivos espaços:
e
em
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores
em
são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Vamos usar a definição: eles são LI se a única combinação
for a trivial, isto é,
.
Passo 2
Escrevendo a combinação
componente a componente, obtemos o sistema
Passo 3
Da quarta equação
segue que
Substituindo em
a - b + c = 0 temos
Passo 4
Agora usamos esses valores em
-2a + b - 4c = 0 :
Logo
b = -c = 0 e
a = -2c = 0 . Como só tivemos a solução trivial, não precisamos verificar a primeira equação (ela já é satisfeita por
a=b=c=0 ).
Passo 5
Concluímos que a única solução de
é
a=b=c=0 . Portanto os três vetores são linearmente independentes em
R^4 .
Resposta
Os vetores são linearmente independentes.