Seja
o subespaço de
gerado pelos polinômios
e
, em que
e
. Encontre uma base e a dimensão de
. Estenda, se possível, tal base a uma base do espaço
.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
gerado pelos polinômios
Precisamos encontrar uma base e a dimensão de
e depois, se possível, estender essa base a uma base de
. Vamos usar dependência linear em
representando polinômios como vetores de coeficientes e aplicando eliminação de Gauss.
Passo 2
Representamos cada polinômio pelos coeficientes na base
:
Aplicamos eliminação de Gauss a essa coleção de vetores para ver quais são combinações lineares.
Passo 3
Da redução obtemos as relações
Isso mostra que
e
pertencem ao span de
e não acrescentam dimensão. Logo
é um conjunto independente que gera
, e
Passo 4
Para estender
a uma base de
(dimensão 4), basta acrescentar dois polinômios que não estejam em
. Por exemplo,
e
não são combinações de
e
, pois seus vetores
e
não entram na eliminação anterior. Assim
é um conjunto de quatro polinômios independentes em
.
Resposta
A base de
pode ser escolhida como
com
. Uma extensão dessa base a uma base de
é