Seja W o subespaço de P3 gerado pelos polinômios p, q, w e h, em que p(t)=1+4 t-2 t^2+t^3, q(t)=-1+9 t-3 t^2+2 t^3, w(t)=-5+6 t+t^3 e h(t)=5+7 t-5 t^2+2 t^3. Encontre uma base e a dimensão de W. Estenda, se possível, tal base a uma base do espaço P3.

Passo 1

O enunciado define o subespaço Wsubset P3 gerado pelos polinômios
p(t)=1+4t-2t^2+t^3, q(t)=-1+9t-3t^2+2t^3, w(t)=-5+6t+t^3, h(t)=5+7t-5t^2+2t^3
Precisamos encontrar uma base e a dimensão de W e depois, se possível, estender essa base a uma base de P3. Vamos usar dependência linear em P3 representando polinômios como vetores de coeficientes e aplicando eliminação de Gauss.

Passo 2

Representamos cada polinômio pelos coeficientes na base 1,t,t^2,t^3:
pmapsto (1,4,-2,1), qmapsto (-1,9,-3,2), wmapsto (-5,6,0,1), hmapsto (5,7,-5,2)
Aplicamos eliminação de Gauss a essa coleção de vetores para ver quais são combinações lineares.

Passo 3

Da redução obtemos as relações
w=-3,p+2,q e h=4,p-q
Isso mostra que w e h pertencem ao span de p,q e não acrescentam dimensão. Logo
p,q é um conjunto independente que gera W, e
dim(W)=2

Passo 4

Para estender p,q a uma base de P3 (dimensão 4), basta acrescentar dois polinômios que não estejam em W. Por exemplo,
alpha(t)=t^2 e beta(t)=t^3 não são combinações de p e q, pois seus vetores (0,0,1,0) e (0,0,0,1) não entram na eliminação anterior. Assim
,p(t),,q(t),,t^2,,t^3
é um conjunto de quatro polinômios independentes em P3.

Resposta

A base de W pode ser escolhida como
,p(t),,q(t),
com dim(W)=2. Uma extensão dessa base a uma base de P3 é
,p(t),,q(t),,t^2,,t^3

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