Complete os seguintes subconjuntos de vetores, nos espaços correspondentes, de modo a formar um conjunto LI:
[ll1 & 0 0 & 0],[ll0 & 1 1 & 0],[ll0 & 0 0 & 1] em M2 times 2.

Passo 1

Aqui a gente está em M2times2, que é o espaço de todas as matrizes 2times2. A dimensão desse espaço é 4, ou seja, para formar um conjunto linearmente independente (LI) “completo” precisamos de 4 matrizes. Já temos três:
A1=1&00&0, A2=0&11&0, A3=0&00&1
Falta, portanto, escolher uma quarta matriz que não seja combinação linear das três dadas.

Passo 2

Uma escolha bem direta é pegar a matriz “anti-simétrica”
A4=0&1-1&0
O motivo é que A2 é simétrica (trocando linhas por colunas não muda), enquanto A4 muda de sinal; assim elas não se misturam linearmente.

Passo 3

Para verificar LI, considere
alpha A1 + beta A2 + gamma A3 + de<a A4 = 02times2
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
alpha = 0, beta + de<a = 0, beta - de<a = 0, gamma = 0
Das duas equações centrais segue beta=0 e de<a=0. Logo alpha=beta=gamma=de<a=0, o que prova que as quatro matrizes são LI.

Resposta

Um modo de completar o conjunto é
1&00&0,; 0&11&0,; 0&00&1,; 0&1-1&0 ,
que é linearmente independente em M2times2.

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