Sejam A=[rrrr2 & -1 & 0 & 1 0 & 2 & -2 & 3 5 & 3 & 0 & 2 -1 & 0 & 1 & -3], B=[rrrr2 & 0 & 0 & 0 -3 & 1 & 0 & 0 1 & 6 & -2 & 0 4 & -5 & 0 & 3], C=[rrrr3 & -1 & 2 & -2 6 & -3 & 2 & -6 0 & 1 & -2 & 3 6 & -2 & 4 & -4] e b=[r-1 0 2 1].
Sem resolver os sistemas, o que pode-se dizer quanto ao número de soluções dos sistemas lineares A^5 B^T x=0 e 2 C^T B x=b ?

Passo 1

O enunciado dá três matrizes 4times4,
A,;B,;C,
e o vetor
binR^4,
e pede informações sobre o número de soluções dos sistemas
A^5B^T x = 0 e 2,C^T B,x = b
sem resolver explicitamente x. Vamos usar as propriedades de determinante e posto para julgar se essas matrizes são invertíveis ou não.

Passo 2

Primeiro notamos que
detl(A^5 B^Tr) =det(A)^5;det!l(B^Tr) =det(A)^5,det(B)
Calculamos rapidamente que det(A)neq0 e det(B)neq0, logo det(A^5B^T)neq0. Isso significa que A^5B^T é invertível.

Passo 3

Como A^5B^T é invertível, o sistema homogêneo
A^5B^T x = 0
só admite a solução trivial
x = 0

Passo 4

Para o segundo sistema, note que o escalar 2 não afeta o posto, e B é invertível, de modo que
rank(2,C^T B) =rank(C^T) =rank(C)
Basta ver que C é singular (por exemplo, a linha 4 de C é o dobro da linha 1), logo
rank(C)<4
Assim 2,C^T B não é invertível, e o sistema
2,C^T B,x = b
não pode ter solução única.

Resposta

O sistema A^5B^T x=0 tem única solução x=0.
O sistema 2,C^T B,x=b não é invertível, logo não tem solução única; dependendo de b ele pode não ter solução ou, se consistente, ter infinitas soluções.

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