Seja A=p1, p2, p3, p4, p5, sendo p1(x)=x^2-2, p2(x)=-x^2+x+2, p3(x)=3 x+1, p4(x)=x^2+7 x e p5(x)=2 x^2-5 x-6.
A é uma base para o espaço P2 ?

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto
A=p1,p2,p3,p4,p5
onde cada pi é um polinômio em P2, o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. Queremos saber se A é uma base de P2. Para isso lembramos que uma base de um espaço vetorial deve ser simultaneamente um conjunto gerador (span) e linearmente independente (LI).

Passo 2

Calculamos a dimensão de P2. Um conjunto canônico de geradores é 1,x,x^2, que tem exatamente 3 elementos. Logo
dim(P2)=3

Passo 3

Em espaços de dimensão 3, qualquer conjunto com mais de 3 vetores é necessariamente linearmente dependente (teorema da dimensão). Como A tem 5 polinômios, temos |A|=5>3, daí A não é linearmente independente.

Passo 4

Como A falha em ser LI, ela não pode ser uma base de P2, mesmo que gere todo o espaço.

Resposta

Não, A não é uma base de P2.

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