Seja
, sendo
,
e
.
é uma base para o espaço
?
Passo 1
O enunciado apresenta o conjunto
onde cada é um polinômio em
, o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. Queremos saber se
é uma base de
. Para isso lembramos que uma base de um espaço vetorial deve ser simultaneamente um conjunto gerador (span) e linearmente independente (LI).
onde cada
Passo 2
Calculamos a dimensão de
. Um conjunto canônico de geradores é
, que tem exatamente 3 elementos. Logo
Passo 3
Em espaços de dimensão 3, qualquer conjunto com mais de 3 vetores é necessariamente linearmente dependente (teorema da dimensão). Como
tem 5 polinômios, temos
, daí
não é linearmente independente.
Passo 4
Como
falha em ser LI, ela não pode ser uma base de
, mesmo que gere todo o espaço.
Resposta
Não,
não é uma base de
.