1. Complete os seguintes subconjuntos de vetores, nos espaços correspondentes, de modo a formar um conjunto LI:
    (b) \{p, q\} sendo p(t)=1-2 t+t^{2} e q(t)=2+t em \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R});
    (c) \left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right]\right\} em M_{2 \times 2} ;
    (d) \left\{\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right]\right\} em M_{3 \times 1} ;
  2. Seja \mathcal{S} o subespaço de \mathbb{R}^{4} gerado por u=(1,-1,0,0), v=(0,0,1,1), w=(-2,2,1,1) e q=(1,0,0,0).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede em cada item (peguei os vetores/polônimos tal como foram escritos no enunciado).
  • Item (3)(b): o subconjunto é \{p,q\} com p(t)=1-2t+t^{2} e q(t)=2+t, considerado em \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) (polinômios de grau ≤ 3). O pedido: completar esse subconjunto, adicionando polinômios, de modo a formar um conjunto linearmente independente (LI).
  • Item (3)(c): o subconjunto é
\left\{\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\right\}
no espaço M_{2\times2}(\mathbb{R}). O pedido: completar esse subconjunto para formar um conjunto LI.
  • Item (3)(d): o subconjunto é \left\{\begin{pmatrix}-2\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}\right\} em M_{3\times1} (que é \mathbb{R}^{3}). O pedido: completar para que o conjunto seja LI.
  • Item (4): é dado o subespaço \mathcal{S}=\operatorname{span}\{u,v,w,q\} em \mathbb{R}^{4} com
u=(1,-1,0,0),\quad v=(0,0,1,1),\quad w=(-2,2,1,1),\quad q=(1,0,0,0).
O enunciado cortou a pergunta, então vou tomar as tarefas padrão: (A) identificar dependências entre os geradores, (B) dar uma base de \mathcal{S} (isto é, um subconjunto gerador LI), (C) determinar a dimensão de \mathcal{S} e (D) verificar se q está no subespaço gerado por u e v (ou seja, se é combinação linear de u e v) e expressar qualquer dependência encontrada. Não vou pedir nada a você — vou resolver tudo isso direto.]

Passo 2

Conceito básico e método que vou usar (explicação didática, passo a passo).
  • Definição útil: um conjunto de vetores \{x_1,\dots,x_k\} é linearmente independente (LI) se a única solução do sistema
\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_k x_k=0
é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Para testar LI, escrevo essa combinação, igualo coordenadas e resolvo o sistema linear; se a única solução for trivial, o conjunto é LI.
  • Para “completar” um conjunto a um conjunto LI em um espaço de dimensão n (quando for possível), uma estratégia prática é:
    1. escrever os vetores iniciais em coordenadas numa base conveniente (por exemplo, base canônica),
    2. escolher vetores adicionais da base canônica que tragam novas coordenadas não já controladas pelos vetores iniciais e
    3. verificar rapidamente a independência resolvendo a combinação linear geral.
      Essa estratégia funciona bem quando o espaço tem uma base padrão simples (como \{1,t,t^2,t^3\} em \mathcal{P}_3 ou \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} em M_{2\times2}).
Agora aplico isso aos itens.

Passo 3

Dados:
p(t)=1-2t+t^{2},\qquad q(t)=2+t
em \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R})\). Vou representar polinômios pela coordenada em relação à base canônica \(\{1,t,t^{2},t^{3}\}\). Assim \[p \longleftrightarrow (1,-2,1,0),\qquad q \longleftrightarrow (2,1,0,0).
Proposta de completar: escolher os polinômios r(t)=t^{2} e s(t)=t^{3}. Em coordenadas:
r\longleftrightarrow (0,0,1,0),\qquad s\longleftrightarrow (0,0,0,1).
Verificação de independência do conjunto \{p,q,r,s\}. Considere
\alpha p+\beta q+\gamma r+\delta s=0
isto é, em coordenadas
\alpha(1,-2,1,0)+\beta(2,1,0,0)+\gamma(0,0,1,0)+\delta(0,0,0,1)=(0,0,0,0).
Igualando coordenadas temos o sistema:
\begin{cases} \text{coeficiente de }1: & \alpha+2\beta=0,\\[4pt] \text{coeficiente de }t: & -2\alpha+\beta=0,\\[4pt] \text{coeficiente de }t^{2}: & \alpha+\gamma=0,\\[4pt] \text{coeficiente de }t^{3}: & \delta=0. \end{cases}
Da segunda equação obtemos \beta=2\alpha\]. Substituindo na primeira: \(\alpha+2(2\alpha)=\alpha+4\alpha=5\alpha=0 logo \alpha=0. Assim \beta=0. Da terceira vem \gamma=0. Da quarta \delta=0. Só a solução trivial existe, logo \{p,q,r,s\} é LI.
Conclusão prática: podemos completar \{p,q\} adicionando t^{2} e t^{3}.]

Passo 4

Os três matrizes dadas são
A_1=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}
no espaço M_{2\times2}(\mathbb{R})\). Uma base cansônica conveniente é formada pelas matrizes \[E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
Observe que A_1=E_{11}, A_2=E_{12}+E_{21} e A_3=E_{22}.
Como o espaço M_{2\times2} tem dimensão 4, basta adicionar uma matriz que não esteja no span dos três dados. Uma escolha simples é E_{12} (ou E_{21}); por exemplo tomar
A_4=E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Verificação rápida de LI de \{A_1,A_2,A_3,A_4\}. Escrevendo combinação linear
\alpha A_1+\beta A_2+\gamma A_3+\delta A_4=0,
em coordenadas (ordem (1,1),(1,2),(2,1),(2,2)) isso dá o sistema
\begin{cases} \alpha=0,\\[4pt] \beta+\delta=0,\\[4pt] \beta=0,\\[4pt] \gamma=0. \end{cases}
Da terceira equação \beta=0\], daí \(\delta=0, e então \alpha=\gamma=0. Só solução trivial, logo LI.
Conclusão prática: podemos completar adicionando \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Os vetores são
v_1=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}
em \mathbb{R}^{3}. O espaço tem dimensão 3, então precisamos adicionar um único vetor que não esteja no span de v_1 e v_2. Uma escolha simples é o vetor canônico
v_3=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Verificação rápida: suponha que exista \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0.
Escrevendo coordenadas:
\alpha(-2)+\beta(-1)+\gamma=0,\qquad \alpha\cdot 0+\beta\cdot 1+0\cdot\gamma=0,\qquad \alpha\cdot 1+\beta\cdot 0+0\cdot\gamma=0.
Da terceira equação \alpha=0. Da segunda \beta=0. Da primeira então \gamma=0. Só solução trivial, então \{v_1,v_2,v_3\} é LI.
Conclusão prática: podemos completar adicionando \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Dados
u=(1,-1,0,0),\quad v=(0,0,1,1),\quad w=(-2,2,1,1),\quad q=(1,0,0,0).
  1. Verificar se w\) é combinação linear de \(u\) e \(v\). Procuro \(a,b\) tais que \[a u + b v = w.
Escrevendo coordenadas:
a(1,-1,0,0)+b(0,0,1,1)=(a,-a,b,b).
Comparando com w=(-2,2,1,1) obtemos
a=-2,\qquad -a=2\quad(\text{coincide com }a=-2),\qquad b=1.
Portanto
w=-2u+1\cdot v.
Conclusão: w depende linearmente de u e v; não acrescenta nova direção ao gerador.
  1. Como w está no span \{u,v\}, o subespaço \mathcal{S}=\operatorname{span}\{u,v,w,q\}=\operatorname{span}\{u,v,q\}. Agora verificar se \{u,v,q\} é LI. Considere coeficientes \alpha,\beta,\gamma com
\alpha u+\beta v+\gamma q=0.
Escrevendo coordenadas:
\alpha(1,-1,0,0)+\beta(0,0,1,1)+\gamma(1,0,0,0)=(\alpha+\gamma,-\alpha,\beta,\beta)=(0,0,0,0).
Isto gera o sistema
\begin{cases} \alpha+\gamma=0,\\[4pt] -\alpha=0,\\[4pt] \beta=0,\\[4pt] \beta=0. \end{cases}
Da segunda equação \alpha=0\]. Então da primeira \(\gamma=0. Da terceira \beta=0. Só solução trivial, portanto \{u,v,q\} é LI.
  1. Portanto uma base de \mathcal{S} é \{u,v,q\} e a dimensão de \mathcal{S} é 3.
  2. Checagem adicional: q NÃO é combinação linear de apenas u e v (se fosse, então \{u,v,q\} seria LI violada). De fato tentamos resolver a u + b v = q e obtemos contradição (como visto no passo anterior), então q acrescenta realmente uma nova direção.]

Resposta

(3)(b) \{\,p(t)=1-2t+t^{2},\;q(t)=2+t,\;t^{2},\;t^{3}\,\}
(3)(c) \left\{\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}\right\}
(3)(d) \left\{\begin{pmatrix}-2\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}
(4) Uma base de \mathcal{S} é \{u,v,q\}. Em particular w=-2u+v. Logo \dim\mathcal{S}=3 e q não está no span \{u,v\} (precisa de q para gerar \mathcal{S}).]

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