Complete os seguintes subconjuntos de vetores, nos espaços correspondentes, de modo a formar um conjunto LI:
sendo
e
em
;
Passo 1
O enunciado pede para completar o conjunto
em
, onde
de modo a obter um conjunto de vetores linearmente independentes.
Passo 2
Para trabalhar de forma organizada, escrevemos as coordenadas de
e
no sistema de base canônico
:
Como
não é múltiplo escalar de
, concluímos que
e
são LI.
Passo 3
Sabendo que
, precisamos acrescentar mais dois vetores fora do span
. Uma escolha natural é
Vamos verificar que nem
nem
está no span
.
Passo 4
Para ver que
não é combinação linear de
e
, tentamos
Comparando coeficientes, viria
,
e
, que é impossível. Logo . De modo análogo,
não pode ser gerado por polinômios de grau
, então .
Passo 5
Concluímos que o conjunto
é linearmente independente em
, pois cada novo vetor introduz coeficiente num grau em que os anteriores são nulos.
Resposta
Uma extensão que torna o conjunto LI é