Complete os seguintes subconjuntos de vetores, nos espaços correspondentes, de modo a formar um conjunto LI:
p, q sendo p(t)=1-2 t+t^2 e q(t)=2+t em P3(R);

Passo 1

O enunciado pede para completar o conjunto p,q em P3(R), onde
p(t)=1-2t+t^2, q(t)=2+t,
de modo a obter um conjunto de vetores linearmente independentes.

Passo 2

Para trabalhar de forma organizada, escrevemos as coordenadas de p e q no sistema de base canônico 1,t,t^2,t^3:
plong<=ftrightarrow (1,,-2,,1,,0), qlong<=ftrightarrow (2,,1,,0,,0)
Como (1,-2,1,0) não é múltiplo escalar de (2,1,0,0), concluímos que p e q são LI.

Passo 3

Sabendo que dim P3(R)=4, precisamos acrescentar mais dois vetores fora do span p,q. Uma escolha natural é
r1(t)=t^2, r2(t)=t^3
Vamos verificar que nem r1 nem r2 está no span p,q.

Passo 4

Para ver que não é combinação linear de e , tentamos
Comparando coeficientes, viria , e , que é impossível. Logo . De modo análogo, não pode ser gerado por polinômios de grau , então .

Passo 5

Concluímos que o conjunto
,p(t),;q(t),;t^2,;t^3
é linearmente independente em P3(R), pois cada novo vetor introduz coeficiente num grau em que os anteriores são nulos.

Resposta

Uma extensão que torna o conjunto LI é
,p,;q,;t^2,;t^3

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