Determine, em cada caso, se os vetores são LIs ou LDs, nos respectivos espaços: sendo e ;
Passo 1
O enunciado nos dá três polinômios
e pede para verificarmos se são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD) em . Para isso, vamos representar cada polinômio pelas suas coordenadas na base canônica e estudar uma combinação linear que zere tudo.
Passo 2
Escrevendo as coordenadas de cada polinômio na base , obtemos
Passo 3
Considere a combinação
a,u + b,v + c,w = 0
em P2(R). Isso gera o sistema para os coeficientes de 1, t e t^2:
a + 2b - c = 0, -2a + b - 3c = 0, a + c = 0
Passo 4
Da terceira equação vem a + c = 0, logo a = -c. Substituindo em a + 2b - c =0 dá
(-c) + 2b - c = 0;Longrightarrow;2b -2c=0;Longrightarrow;b=c
Assim b=c e a=-c. Como podemos escolher cneq0, existe solução não trivial. Por exemplo, tomando c=1 obtemos a=-1, b=1, c=1, que de fato satisfaz todas as equações.
Passo 5
Como existe combinação não trivial que zera a,u+b,v+c,w, concluímos que os três polinômios são linearmente dependentes.
Resposta
Os vetores u,v,w são linearmente dependentes em P2(R).