Determine, em cada caso, se os vetores são LIs ou LDs, nos respectivos espaços:
u, v, w in P2(R) sendo u(t)=1-2 t+t^2, v(t)=2+t e w(t)= -1-3 t+t^2;

Passo 1

O enunciado nos dá três polinômios
u(t)=1-2t+t^2, v(t)=2+t, w(t)=-1-3t+t^2
e pede para verificarmos se são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD) em P2(R). Para isso, vamos representar cada polinômio pelas suas coordenadas na base canônica 1,t,t^2 e estudar uma combinação linear que zere tudo.

Passo 2

Escrevendo as coordenadas de cada polinômio na base 1,t,t^2, obtemos
usim1-21, vsim210, wsim-1-31

Passo 3

Considere a combinação
a,u + b,v + c,w = 0
em P2(R). Isso gera o sistema para os coeficientes de 1, t e t^2:
a + 2b - c = 0, -2a + b - 3c = 0, a + c = 0

Passo 4

Da terceira equação vem a + c = 0, logo a = -c. Substituindo em a + 2b - c =0
(-c) + 2b - c = 0;Longrightarrow;2b -2c=0;Longrightarrow;b=c
Assim b=c e a=-c. Como podemos escolher cneq0, existe solução não trivial. Por exemplo, tomando c=1 obtemos a=-1, b=1, c=1, que de fato satisfaz todas as equações.

Passo 5

Como existe combinação não trivial que zera a,u+b,v+c,w, concluímos que os três polinômios são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores u,v,w são linearmente dependentes em P2(R).

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