Seja W o subespaço de R^4 gerado pelos vetores (1,-2,5,-3),(2,3,1,-4) e (3,8,-3,-5). Encontre uma base e a dimensão de W. Estenda tal base a uma base do espaço R^4.

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma base e a dimensão do subespaço WsubsetR^4 gerado pelos vetores
,(1,-2,5,-3), ,(2,3,1,-4) e ,(3,8,-3,-5). Em seguida, precisamos estender essa base a uma base de R^4. O conteúdo envolve independência linear, posto de matriz e extensão de base.

Passo 2

Vamos montar a matriz cujas linhas são os vetores dados e aplicar eliminação de Gauss para encontrar o posto:
1 & -2 & 5 & -3 2 & 3 & 1 & -4 3 & 8 & -3 & -5
Fazendo R2to R2-2R1 e R3to R3-3R1, obtemos
1 & -2 & 5 & -3 0 & 7 & -9 & 2 0 & 14 & -18& 4
Em seguida, R3to R3-2R2 leva a
1 & -2 & 5 & -3 0 & 7 & -9 & 2 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Como surgem exatamente duas linhas pivô, o posto da matriz é 2. Logo dim W = 2. Os vetores correspondentes às duas primeiras linhas independentes formam uma base de W. Podemos escolher
v1 = (1,-2,5,-3), v2 = (2,3,1,-4)

Passo 4

Para estender v1,v2 a uma base de R^4, basta adicionar dois vetores que não caibam no plano de W. Podemos, por exemplo, escolher os vetores padrão
e3 = (0,0,1,0), e4 = (0,0,0,1)
Uma verificação rápida por combinação linear mostra que v1,v2,e3,e4 é um conjunto de quatro vetores linearmente independentes em R^4.

Resposta

Base de W:
(1,-2,5,-3),,(2,3,1,-4)
Dimensão de W:
dim W = 2
Base estendida de R^4:
(1,-2,5,-3),,(2,3,1,-4),,(0,0,1,0),,(0,0,0,1)

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