Complete as sequências abaixo e encontre a fórmula geral do n-ésimo termo:
1,1,2,3,5,8,13, ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência
1,1,2,3,5,8,13,ldots
e pede para completá-la e encontrar a fórmula do n-ésimo termo. Isto é conteúdo de recorrências lineares de segunda ordem.

Passo 2

Observamos que cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos dois anteriores. Logo a recorrência é
an = an-1 + an-2,
com condições iniciais
a1 = 1, a2 = 1

Passo 3

Para resolver, montamos a equação característica
r^2 - r - 1 = 0
Suas raízes são
r1 = 1 + raiz52, r2 = 1 - raiz52

Passo 4

A solução geral da recorrência é
an = C,r1^n + D,r2^n
Usando a1=1 e a2=1 resolve-se para C e D, obtendo
C = 1raiz5, D = -1raiz5

Passo 5

Substituindo C, D, r1 e r2 vem a fórmula de Binet:
an = 1raiz5l(l(tfrac1+raiz52r)^n - l(tfrac1-raiz52r)^nr)

Resposta

A sequência completa começa
1,1,2,3,5,8,13,21,34,dots
e o n-ésimo termo é
an = 1raiz5l(l(tfrac1+raiz52r)^n - l(tfrac1-raiz52r)^nr)

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