Complete a tabela abaixo:
t \sin t \cos t \tan t \csc t \operatorname{sec} t \cot t
0 0 1 undefined
\frac{\pi}{2}
\pi 0 undefined
\frac{3 \pi}{2}

Passo 1

O que o exercício pede: completar a tabela de valores das funções trigonométricas nos ângulos \,0,\;\frac{\pi}{2},\;\pi,\;\frac{3\pi}{2}\,.
Informações dadas (entradas já presentes na tabela):
  • Para t=0: \sin t=0, \cos t=1. A célula \tan t está vazia; \csc t aparece como \text{undefined}; \operatorname{sec} t e \cot t estão vazias.
  • Para t=\frac{\pi}{2}: todas as células estão vazias.
  • Para t=\pi: \tan t=0; \cot t=\text{undefined}; as demais células estão vazias.
  • Para t=\frac{3\pi}{2}: todas as células estão vazias.
Objetivo final: preencher os valores de \sin t,\;\cos t,\;\tan t,\;\csc t,\;\operatorname{sec} t,\;\cot t para cada um dos quatro ângulos.

Passo 2

Fórmulas e regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Definições básicas (todas escritas em termos de \sin e \cos): \tan t = \frac{\sin t}{\cos t},\qquad \cot t = \frac{\cos t}{\sin t},
\csc t = \frac{1}{\sin t},\qquad \operatorname{sec} t = \frac{1}{\cos t}.
Essas fórmulas dizem: tangente é seno dividido por cosseno; cotangente é cosseno dividido por seno; cosecante e secante são recíprocos de seno e cosseno, respectivamente.
  • Importante sobre “undefined”: quando houver divisão por zero (por exemplo \frac{1}{0} ou \frac{0}{0}), o valor da função é indefinido. Portanto sempre verificamos se o denominador é zero antes de calcular.
  • Estratégia prática: primeiro obtemos \sin t e \cos t (valores do círculo unitário para os ângulos dados), depois usamos as fórmulas acima para as outras funções e marcamos \text{undefined} quando ocorrer divisão por zero.

Passo 3

Calcular \sin e \cos nos ângulos dados (valores padrão do círculo unitário; explico cada um):
  • \,t=0: no círculo unitário o ponto é (\cos 0,\sin 0)=(1,0). Logo \sin 0 = 0,\qquad \cos 0 = 1.
  • \,t=\frac{\pi}{2}: o ponto é (\cos \tfrac{\pi}{2},\sin \tfrac{\pi}{2})=(0,1). Logo \sin \tfrac{\pi}{2} = 1,\qquad \cos \tfrac{\pi}{2} = 0.
  • \,t=\pi: o ponto é (\cos \pi,\sin \pi)=(-1,0). Logo \sin \pi = 0,\qquad \cos \pi = -1.
  • \,t=\frac{3\pi}{2}: o ponto é (\cos \tfrac{3\pi}{2},\sin \tfrac{3\pi}{2})=(0,-1). Logo \sin \tfrac{3\pi}{2} = -1,\qquad \cos \tfrac{3\pi}{2} = 0.

Passo 4

Calcular \tan t = \dfrac{\sin t}{\cos t} para cada ângulo, verificando divisões por zero:
  • Para t=0: \tan 0 = \frac{\sin 0}{\cos 0} = \frac{0}{1} = 0.
  • Para t=\tfrac{\pi}{2}: \tan \tfrac{\pi}{2} = \frac{\sin \tfrac{\pi}{2}}{\cos \tfrac{\pi}{2}} = \frac{1}{0},que é divisão por zero, portanto \tan \tfrac{\pi}{2} = \text{\( undefined }).
  • Para t=\pi: \tan \pi = \frac{\sin \pi}{\cos \pi} = \frac{0}{-1} = 0,(já estava indicado na tabela).
  • Para t=\tfrac{3\pi}{2}: \tan \tfrac{3\pi}{2} = \frac{\sin \tfrac{3\pi}{2}}{\cos \tfrac{3\pi}{2}} = \frac{-1}{0},divisão por zero, logo \tan \tfrac{3\pi}{2} = \text{undefined}.

Passo 5

Calcular \csc t = \dfrac{1}{\sin t} e \operatorname{sec} t = \dfrac{1}{\cos t}, lembrando de marcar \text{undefined} quando o denominador for zero:
  • Para t=0: \csc 0 = \frac{1}{\sin 0} = \frac{1}{0} = \text{undefined}, \qquad \operatorname{sec} 0 = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1.
  • Para t=\tfrac{\pi}{2}: \csc \tfrac{\pi}{2} = \frac{1}{\sin \tfrac{\pi}{2}} = \frac{1}{1} = 1, \qquad \operatorname{sec} \tfrac{\pi}{2} = \frac{1}{\cos \tfrac{\pi}{2}} = \frac{1}{0} = \text{undefined}.
  • Para t=\pi: \csc \pi = \frac{1}{\sin \pi} = \frac{1}{0} = \text{undefined}, \qquad \operatorname{sec} \pi = \frac{1}{\cos \pi} = \frac{1}{-1} = -1.
  • Para t=\tfrac{3\pi}{2}: \csc \tfrac{3\pi}{2} = \frac{1}{\sin \tfrac{3\pi}{2}} = \frac{1}{-1} = -1, \qquad \operatorname{sec} \tfrac{3\pi}{2} = \frac{1}{\cos \tfrac{3\pi}{2}} = \frac{1}{0} = \text{undefined}.

Passo 6

Calcular \cot t = \dfrac{\cos t}{\sin t} para cada ângulo (novamente cuidado com \sin t=0):
  • Para t=0: \cot 0 = \frac{\cos 0}{\sin 0} = \frac{1}{0} = \text{undefined}.
  • Para t=\tfrac{\pi}{2}: \cot \tfrac{\pi}{2} = \frac{\cos \tfrac{\pi}{2}}{\sin \tfrac{\pi}{2}} = \frac{0}{1} = 0.
  • Para t=\pi: \cot \pi = \frac{\cos \pi}{\sin \pi} = \frac{-1}{0} = \text{undefined},(coincide com o que já estava indicado).
  • Para t=\tfrac{3\pi}{2}: \cot \tfrac{3\pi}{2} = \frac{\cos \tfrac{3\pi}{2}}{\sin \tfrac{3\pi}{2}} = \frac{0}{-1} = 0.

Resposta

t \sin t \cos t \tan t \csc t \operatorname{sec} t \cot t
0 0 1 0 \text{undefined} 1 \text{undefined}
\dfrac{\pi}{2} 1 0 \text{undefined} 1 \text{undefined} 0
\pi 0 -1 0 \text{undefined} -1 \text{undefined}
\dfrac{3\pi}{2} -1 0 \text{undefined} -1 \text{undefined} 0

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