Complete a tabela de distribuição de frequência com classes:
Classes Ponto Médio (PM) Frequência (f) f \cdot P M Frequência Acumulada
10 \vdash 20 5
20 \vdash 30 8
30 \vdash 40 12
40 \vdash 50 5
Total
(a) Complete todas as colunas da tabela.
(b) Calcule a média aritmética.
(c) Identifique a classe modal.
(d) Identifique a classe mediana.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (frequências por classe, extraído do enunciado):
    • Classe 10 \vdash 20: f=5
    • Classe 20 \vdash 30: f=8
    • Classe 30 \vdash 40: f=12
    • Classe 40 \vdash 50: f=5
  • O enunciado pede:
    (a) completar todas as colunas da tabela: Ponto Médio (PM), f\cdot PM e Frequência Acumulada (FA);
    (b) calcular a média aritmética da distribuição agrupada;
    (c) identificar a classe modal;
    (d) identificar a classe mediana.

Passo 2

Calcular os pontos médios (PM) das classes. Conceito: o ponto médio de uma classe [a,b) é dado por
PM=\frac{a+b}{2},
onde a é o limite inferior e b o limite superior da classe. Isso representa o valor “típico” da classe para usar em medidas como a média aproximada.
Cálculo para cada classe:
  • Para 10 \vdash 20: PM=\frac{10+20}{2}=\frac{30}{2}=15.
  • Para 20 \vdash 30: PM=\frac{20+30}{2}=\frac{50}{2}=25.
  • Para 30 \vdash 40: PM=\frac{30+40}{2}=\frac{70}{2}=35.
  • Para 40 \vdash 50: PM=\frac{40+50}{2}=\frac{90}{2}=45.

Passo 3

Calcular f\cdot PM para cada classe. Conceito: multiplicando a frequência da classe pelo ponto médio obtemos a contribuição dessa classe para a soma ponderada que entra na média.
Cálculos (mostrar passo a passo para poder fazer sem calculadora):
  • Classe 10 \vdash 20: f\cdot PM = 5\cdot 15 = 75.
  • Classe 20 \vdash 30: f\cdot PM = 8\cdot 25 = 8\cdot(20+5)=160+40=200.
  • Classe 30 \vdash 40: f\cdot PM = 12\cdot 35 = 12\cdot(30+5)=360+60=420.
  • Classe 40 \vdash 50: f\cdot PM = 5\cdot 45 = 225.

Passo 4

Calcular as frequências acumuladas (FA) e os totais. Conceito: a frequência acumulada até uma classe é a soma das frequências de todas as classes até aquela; serve para localizar quantis (como a mediana).
Construindo a FA cumulativa:
  • Após primeira classe: FA_1 = 5.
  • Após segunda classe: FA_2 = 5+8 = 13.
  • Após terceira classe: FA_3 = 13+12 = 25.
  • Após quarta classe: FA_4 = 25+5 = 30.
Totais:
  • Total das frequências N=\sum f = 30.
  • Soma das contribuições para a média \sum f\cdot PM = 75+200+420+225. Vamos somar passo a passo: 75+200=275,\quad 275+420=695,\quad 695+225=920.Logo \sum f\cdot PM = 920.

Passo 5

Calcular a média aritmética da distribuição agrupada. Fórmula e explicação:
  • Fórmula da média ponderada por classes:
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i\cdot PM_i}{\sum_i f_i},
onde f_i é a frequência da i-ésima classe e PM_i o ponto médio dessa classe. A ideia é que cada ponto médio representa todos os valores daquela classe, ponderado pela frequência.
Aplicando aos números que já obtivemos:
\bar{x}=\frac{920}{30}.
Fazendo a divisão:
  • \dfrac{920}{30}=\dfrac{92}{3}=30{,}666\ldots
    Arredondando com duas casas decimais: \bar{x}\approx 30{,}67.

Passo 6

Identificar a classe modal. Conceito: a classe modal é a classe de maior frequência (a que contém mais observações). Basta comparar as frequências dadas.
As frequências por classe são 5,8,12,5. A maior é 12, que pertence à classe 30 \vdash 40. Portanto a classe modal é 30 \vdash 40.

Passo 7

Identificar a classe mediana. Conceito: a mediana é o valor que divide a amostra ao meio; para distribuição agrupada primeira identificamos a classe que contém a observação de ordem \dfrac{N}{2}. Para N par, qualquer valor entre a N/2-ésima e a (N/2+1)-ésima está na mesma classe mediana quando a FA salta passando essa posição.
Calcular a posição do meio:
\frac{N}{2}=\frac{30}{2}=15.
Agora observar as frequências acumuladas calculadas no Passo 4: FA após cada classe são 5,\\\ 13,\\\ 25,\\\ 30. Procuramos onde cabe a 15ª observação: 13<15\le 25. Isso significa que a 15ª observação está na terceira classe, isto é, na classe 30 \vdash 40. Portanto a classe mediana é 30 \vdash 40.

Resposta

(a) Tabela completa:
10 \vdash 20: PM=15,\\ f=5,\\ f\cdot PM=75,\\ FA=5
20 \vdash 30: PM=25,\\ f=8,\\ f\cdot PM=200,\\ FA=13
30 \vdash 40: PM=35,\\ f=12,\\ f\cdot PM=420,\\ FA=25
40 \vdash 50: PM=45,\\ f=5,\\ f\cdot PM=225,\\ FA=30
(Total: N=30,\\ \sum f\cdot PM=920)
(b) Média aritmética: \bar{x}=\dfrac{920}{30}=30{,}666\ldots\approx 30{,}67
(c) Classe modal: 30 \vdash 40
(d) Classe mediana: 30 \vdash 40

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