A tabela mostra as idades dos funcionários de uma empresa:
Idade Frequência
25 4
26 6
27 8
28 10
29 7
30 5
(a) Construa as colunas de frequência relativa e acumulada.
(b) Calcule a idade média dos funcionários.
(c) Determine a moda.
(d) Encontre a mediana.

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com as idades e as respectivas frequências e pede quatro coisas:
  • (a) Construir as colunas de frequência relativa e de frequência acumulada.
  • (b) Calcular a idade média dos funcionários.
  • (c) Determinar a moda.
  • (d) Encontrar a mediana.
As informações dadas (peguei estes dados do enunciado) são:
  • Idade 25: frequência 4.
  • Idade 26: frequência 6.
  • Idade 27: frequência 8.
  • Idade 28: frequência 10.
  • Idade 29: frequência 7.
  • Idade 30: frequência 5.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular o total de funcionários (o tamanho da amostra), que vou chamar de N. Isso é simplesmente a soma das frequências.
N=4+6+8+10+7+5.
Faço a soma devagar:
4+6=10,\quad 10+8=18,\quad 18+10=28,\quad 28+7=35,\quad 35+5=40.
Logo
N=40.
Explicação didática: a frequência absoluta indica quantas vezes cada idade aparece; somando todas obtemos o número total de funcionários. Sempre começe por isso — é essencial para calcular proporções, média e mediana.

Passo 3

Agora vou construir a coluna de frequência relativa. Definição: a frequência relativa de uma classe/valor é a razão entre a sua frequência absoluta e o total N. Em símbolos, se n_i é a frequência absoluta da idade x_i, a frequência relativa p_i é
p_i=\frac{n_i}{N}.
Vou calcular cada uma (faço passo a passo para você poder replicar sem calculadora):
  • Para x=25: p=\dfrac{4}{40}=\dfrac{1}{10}=0,1.
  • Para x=26: p=\dfrac{6}{40}=\dfrac{3}{20}=0,15.
  • Para x=27: p=\dfrac{8}{40}=\dfrac{1}{5}=0,2.
  • Para x=28: p=\dfrac{10}{40}=\dfrac{1}{4}=0,25.
  • Para x=29: p=\dfrac{7}{40}=0,175.
  • Para x=30: p=\dfrac{5}{40}=\dfrac{1}{8}=0,125.
Checagem rápida: a soma das frequências relativas deve ser 1. Somando 0,1+0,15+0,2+0,25+0,175+0,125=1. Beleza — está consistente.

Passo 4

Agora a coluna de frequência acumulada (absoluta). Definição: a frequência acumulada até uma idade x_i é a soma das frequências de todas as idades menores ou iguais a x_i. Vou calcular em ordem crescente de idade:
  • Acumulada até 25: 4.
  • Acumulada até 26: 4+6=10.
  • Acumulada até 27: 10+8=18.
  • Acumulada até 28: 18+10=28.
  • Acumulada até 29: 28+7=35.
  • Acumulada até 30: 35+5=40.
Também é comum ter a frequência relativa acumulada (dividindo cada acumulada por N):
\text{acumulada relativa} = \frac{\text{acumulada absoluta}}{40},
o que dá: 0,1,\\\ 0,25,\\\ 0,45,\\\ 0,7,\\\ 0,875,\\\ 1 (respectivamente para as idades de 25 a 30).

Passo 5

Agora passo para a média aritmética das idades, explicando a fórmula e executando os cálculos passo a passo.
Fórmula para dados em tabela por frequência: a média \bar{x} é a soma dos valores multiplicados pelas suas frequências, dividida pelo total:
\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i n_i}{N},
onde x_i é cada idade, n_i é a frequência dessa idade e N é o total (já calculei N=40).
Vou calcular cada produto x_i n_i:
25\cdot 4 = 100,
26\cdot 6 = 156,
27\cdot 8 = 216,
28\cdot 10 = 280,
29\cdot 7 = 203,
30\cdot 5 = 150.
Somando tudo:
\sum_i x_i n_i = 100+156+216+280+203+150.
Faço a soma em etapas:
100+156=256,\quad 256+216=472,\quad 472+280=752,\quad 752+203=955,\quad 955+150=1105.
Portanto
\sum_i x_i n_i = 1105.
Aplicando a fórmula da média:
\bar{x}=\frac{1105}{40}=\frac{221}{8}=27,625.
Interpretação: a idade média dos funcionários é \bar{x}=27,625 anos (pode ser reportada como 27,625 ou arredondada para 27,63).

Passo 6

Determinar a moda. Definição simples: a moda é o valor que ocorre com maior frequência absoluta (o que mais se repete).
Olho as frequências:
4,\\\ 6,\\\ 8,\\\ 10,\\\ 7,\\\ 5.
A maior é 10, que corresponde à idade 28. Logo a moda é 28.
Observação didática: se houvesse empate pelo maior valor de frequência, poderia haver mais de uma moda (bimodal, trimodal, etc.). Aqui é unimodal.

Passo 7

Determinar a mediana com explicação didática. A mediana é o valor que separa a amostra em duas metades: metade dos observações fica abaixo e metade acima. Para uma amostra com N observações ordenadas:
  • Se N é ímpar, a mediana é o valor na posição \dfrac{N+1}{2}.
  • Se N é par, a mediana é a média aritmética dos valores nas posições \dfrac{N}{2} e \dfrac{N}{2}+1.
Aqui N=40 (par). Então preciso dos valores nas posições 20 e 21 da lista ordenada por idade. Uso a frequência acumulada absoluta (que calculei) para localizar essas posições:
  • Até 27 temos acumulado 18 observações — ou seja, as posições 1 a 18 correspondem a idades \le 27.
  • Até 28 temos acumulado 28 observações — ou seja, as posições 19 a 28 correspondem à idade 28.
Logo a 20-ª observação é 28 e a 21-ª observação também é 28. Como as duas posições envolvidas no cálculo da mediana são ambas 28, a mediana é
\text{mediana}=28.
Explicação suave: se as posições caíssem em valores diferentes, teria que tirar a média desses dois valores; aqui não — cai no mesmo valor, então a mediana é exatamente 28.

Resposta

(a) Frequência relativa: 25:0,1;\\\ 26:0,15;\\\ 27:0,2;\\\ 28:0,25;\\\ 29:0,175;\\\ 30:0,125. Frequência acumulada (absoluta): 25:4;\\\ 26:10;\\\ 27:18;\\\ 28:28;\\\ 29:35;\\\ 30:40.
(b) Idade média: \bar{x}=27,625.
(c) Moda: 28.
(d) Mediana: 28.

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