A tabela mostra as idades dos funcionários de uma empresa:
Idade
Frequência
25
4
26
6
27
8
28
10
29
7
30
5
(a) Construa as colunas de frequência relativa e acumulada.
(b) Calcule a idade média dos funcionários.
(c) Determine a moda.
(d) Encontre a mediana.
| Idade | Frequência |
| 25 | 4 |
| 26 | 6 |
| 27 | 8 |
| 28 | 10 |
| 29 | 7 |
| 30 | 5 |
(b) Calcule a idade média dos funcionários.
(c) Determine a moda.
(d) Encontre a mediana.
Passo 1
O enunciado fornece uma tabela com as idades e as respectivas frequências e pede quatro coisas:
- (a) Construir as colunas de frequência relativa e de frequência acumulada.
- (b) Calcular a idade média dos funcionários.
- (c) Determinar a moda.
- (d) Encontrar a mediana.
As informações dadas (peguei estes dados do enunciado) são:
- Idade
: frequência . - Idade
: frequência . - Idade
: frequência . - Idade
: frequência . - Idade
: frequência . - Idade
: frequência .
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular o total de funcionários (o tamanho da amostra), que vou chamar de
. Isso é simplesmente a soma das frequências.
Faço a soma devagar:
Logo
Explicação didática: a frequência absoluta indica quantas vezes cada idade aparece; somando todas obtemos o número total de funcionários. Sempre começe por isso — é essencial para calcular proporções, média e mediana.
Passo 3
Agora vou construir a coluna de frequência relativa. Definição: a frequência relativa de uma classe/valor é a razão entre a sua frequência absoluta e o total
. Em símbolos, se
é a frequência absoluta da idade
, a frequência relativa
é
Vou calcular cada uma (faço passo a passo para você poder replicar sem calculadora):
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Checagem rápida: a soma das frequências relativas deve ser
. Somando
. Beleza — está consistente.
Passo 4
Agora a coluna de frequência acumulada (absoluta). Definição: a frequência acumulada até uma idade
é a soma das frequências de todas as idades menores ou iguais a
. Vou calcular em ordem crescente de idade:
- Acumulada até
: . - Acumulada até
: . - Acumulada até
: . - Acumulada até
: . - Acumulada até
: . - Acumulada até
: .
Também é comum ter a frequência relativa acumulada (dividindo cada acumulada por
):
o que dá:
(respectivamente para as idades de
a
).
Passo 5
Agora passo para a média aritmética das idades, explicando a fórmula e executando os cálculos passo a passo.
Fórmula para dados em tabela por frequência: a média
é a soma dos valores multiplicados pelas suas frequências, dividida pelo total:
onde
é cada idade,
é a frequência dessa idade e
é o total (já calculei
).
Vou calcular cada produto
:
Somando tudo:
Faço a soma em etapas:
Portanto
Aplicando a fórmula da média:
Interpretação: a idade média dos funcionários é
anos (pode ser reportada como
ou arredondada para
).
Passo 6
Determinar a moda. Definição simples: a moda é o valor que ocorre com maior frequência absoluta (o que mais se repete).
Olho as frequências:
A maior é
, que corresponde à idade
. Logo a moda é
.
Observação didática: se houvesse empate pelo maior valor de frequência, poderia haver mais de uma moda (bimodal, trimodal, etc.). Aqui é unimodal.
Passo 7
Determinar a mediana com explicação didática. A mediana é o valor que separa a amostra em duas metades: metade dos observações fica abaixo e metade acima. Para uma amostra com
observações ordenadas:
- Se
é ímpar, a mediana é o valor na posição . - Se
é par, a mediana é a média aritmética dos valores nas posições e .
Aqui
(par). Então preciso dos valores nas posições
e
da lista ordenada por idade. Uso a frequência acumulada absoluta (que calculei) para localizar essas posições:
- Até
temos acumulado observações — ou seja, as posições a correspondem a idades . - Até
temos acumulado observações — ou seja, as posições a correspondem à idade .
Logo a
-ª observação é
e a
-ª observação também é
. Como as duas posições envolvidas no cálculo da mediana são ambas
, a mediana é
Explicação suave: se as posições caíssem em valores diferentes, teria que tirar a média desses dois valores; aqui não — cai no mesmo valor, então a mediana é exatamente
.
Resposta
(a) Frequência relativa:
Frequência acumulada (absoluta):
(b) Idade média:
(c) Moda:
(d) Mediana:
(b) Idade média:
(c) Moda:
(d) Mediana: