Considere a distribuição de frequência:
Classes
Frequência
5
8
12
5
(a) Calcule a amplitude de cada intervalo.
(b) Determine os pontos médios.
(c) Calcule a média aritmética para dados agrupados.
(d) Encontre a moda usando a fórmula de Czuber.
(e) Determine a mediana.
(f) Calcule a variância e o desvio padrão.
| Classes | Frequência |
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5 |
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8 |
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12 |
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5 |
(b) Determine os pontos médios.
(c) Calcule a média aritmética para dados agrupados.
(d) Encontre a moda usando a fórmula de Czuber.
(e) Determine a mediana.
(f) Calcule a variância e o desvio padrão.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
-
Dados (classes e frequências):
- Classe
com frequência . - Classe
com frequência . - Classe
com frequência . - Classe
com frequência .
- Classe
-
Perguntas:
(a) Calcular a amplitude de cada intervalo.
(b) Determinar os pontos médios de cada classe.
(c) Calcular a média aritmética para dados agrupados.
(d) Encontrar a moda usando a fórmula de Czuber.
(e) Determinar a mediana.
(f) Calcular a variância e o desvio padrão.
Passo 2
(a) Amplitude de cada intervalo — o que é e como calcular:
- A amplitude (ou largura) de uma classe é a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe.
- Para cada classe aqui: calcular
limite superior limite inferior.
Calculemos:
Portanto todas as classes têm mesma amplitude
.
Passo 3
(b) Pontos médios — definição e cálculo passo a passo:
- O ponto médio da classe é a média aritmética dos limites da classe.
- Para uma classe com limites
e , o ponto médio é .
Calculemos os pontos médios:
Passo 4
(c) Média aritmética para dados agrupados — fórmula e explicação:
- Para dados agrupados em classes, usa-se a média ponderada dos pontos médios, ponderada pelas frequências.
- Fórmula:
onde
é a frequência da
-ésima classe,
é o ponto médio dessa classe e
é o total de observações.
Calculemos
e
:
Produtos
:
Soma:
Logo a média:
Passo 5
(d) Moda usando a fórmula de Czuber — explicação do método:
- Primeiro identificar a classe modal: é a classe com maior frequência. Aqui a maior frequência é
, correspondente à classe . Essa é a classe modal. - A fórmula de Czuber (comumente usada para dados agrupados) dá a estimativa da moda por interpolação dentro da classe modal:
onde:
-
é o limite inferior da classe modal, -
é a frequência da classe modal, -
é a frequência da classe anterior, -
é a frequência da classe seguinte, -
é a amplitude da classe.
Aplicando aos nossos valores:
- Classe modal:
então . -
.
Calcule:
Passo 6
(e) Mediana para dados agrupados — fórmula e detalhe:
- A mediana para dados agrupados é encontrada interpolando dentro da classe que contém a posição
. - Fórmula:
onde:
-
é o limite inferior da classe mediana, -
é o total de observações, -
é a frequência acumulada antes da classe mediana (ou seja, soma das frequências de todas as classes anteriores), -
é a frequência da classe mediana, -
é a amplitude.
Encontremos a classe mediana:
-
então . - Frequências acumuladas:
- até 1ª classe:
, - até 2ª classe:
, - até 3ª classe:
.
- até 1ª classe:
- A posição
está na 3ª classe ( ), pois a acumulada antes dela é . Assim .
Calcule a mediana:
Passo 7
(f) Variância e desvio padrão — definição para dados agrupados e cálculo:
- Para tratar os dados como população (denominação por
) a variância para dados agrupados é
onde
é o ponto médio e
a média calculada.
- O desvio padrão é
.
Já temos
. Vamos computar as contribuições
com precisão racional para evitar erro acumulado.
Diferenças e quadrados (usar frações):
Multiplicando por
:
Somando:
Dividindo por
para a variância:
Desvio padrão:
Observação rápida (motivacional): se sentir inseguro com essas frações, dá para fazer as contas com aproximações decimais passo a passo; aqui mantivemos frações para mais exatidão e depois aproximamos para apresentação final.
Resposta
(a)
(b) pontos médios:
(c)
(d)
(e)
(f)
(b) pontos médios:
(c)
(d)
(e)
(f)