Considere a distribuição de frequência:
Classes Frequência
10 \vdash 20 5
20 \vdash 30 8
30 \vdash 40 12
40 \vdash 50 5
(a) Calcule a amplitude de cada intervalo.
(b) Determine os pontos médios.
(c) Calcule a média aritmética para dados agrupados.
(d) Encontre a moda usando a fórmula de Czuber.
(e) Determine a mediana.
(f) Calcule a variância e o desvio padrão.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda.
  • Dados (classes e frequências):
    • Classe 10\vdash20 com frequência 5.
    • Classe 20\vdash30 com frequência 8.
    • Classe 30\vdash40 com frequência 12.
    • Classe 40\vdash50 com frequência 5.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a amplitude de cada intervalo.
    (b) Determinar os pontos médios de cada classe.
    (c) Calcular a média aritmética para dados agrupados.
    (d) Encontrar a moda usando a fórmula de Czuber.
    (e) Determinar a mediana.
    (f) Calcular a variância e o desvio padrão.

Passo 2

(a) Amplitude de cada intervalo — o que é e como calcular:
  • A amplitude (ou largura) de uma classe é a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe.
  • Para cada classe aqui: calcular h = limite superior - limite inferior.
Calculemos:
h_{1}=20-10=10,\quad h_{2}=30-20=10,\quad h_{3}=40-30=10,\quad h_{4}=50-40=10.
Portanto todas as classes têm mesma amplitude h=10.

Passo 3

(b) Pontos médios — definição e cálculo passo a passo:
  • O ponto médio da classe é a média aritmética dos limites da classe.
  • Para uma classe com limites a e b, o ponto médio é m=\dfrac{a+b}{2}.
Calculemos os pontos médios:
m_{1}=\dfrac{10+20}{2}=15,\quad m_{2}=\dfrac{20+30}{2}=25,\quad m_{3}=\dfrac{30+40}{2}=35,\quad m_{4}=\dfrac{40+50}{2}=45.

Passo 4

(c) Média aritmética para dados agrupados — fórmula e explicação:
  • Para dados agrupados em classes, usa-se a média ponderada dos pontos médios, ponderada pelas frequências.
  • Fórmula: \bar{x}=\dfrac{\sum_{i} f_{i} m_{i}}{N},
onde f_{i} é a frequência da i-ésima classe, m_{i} é o ponto médio dessa classe e N=\sum_{i} f_{i} é o total de observações.
Calculemos N e \sum f_i m_i:
N=5+8+12+5=30.
Produtos f_i m_i:
5\cdot15=75,\quad 8\cdot25=200,\quad 12\cdot35=420,\quad 5\cdot45=225.
Soma:
\sum_{i} f_{i} m_{i}=75+200+420+225=920.
Logo a média:
\bar{x}=\dfrac{920}{30}=\dfrac{92}{3}\approx30,666\ldots

Passo 5

(d) Moda usando a fórmula de Czuber — explicação do método:
  • Primeiro identificar a classe modal: é a classe com maior frequência. Aqui a maior frequência é 12, correspondente à classe 30\vdash40. Essa é a classe modal.
  • A fórmula de Czuber (comumente usada para dados agrupados) dá a estimativa da moda por interpolação dentro da classe modal:
\text{Moda}=L+\dfrac{f_{m}-f_{m-1}}{(f_{m}-f_{m-1})+(f_{m}-f_{m+1})}\,h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe modal,
  • f_{m} é a frequência da classe modal,
  • f_{m-1} é a frequência da classe anterior,
  • f_{m+1} é a frequência da classe seguinte,
  • h é a amplitude da classe.
Aplicando aos nossos valores:
  • Classe modal: 30\vdash40 então L=30.
  • f_{m}=12,\; f_{m-1}=8,\; f_{m+1}=5,\; h=10.
Calcule:
\text{Moda}=30+\dfrac{12-8}{(12-8)+(12-5)}\cdot 10 =30+\dfrac{4}{4+7}\cdot 10 =30+\dfrac{4}{11}\cdot 10 =30+\dfrac{40}{11}\approx33,63636\ldots

Passo 6

(e) Mediana para dados agrupados — fórmula e detalhe:
  • A mediana para dados agrupados é encontrada interpolando dentro da classe que contém a posição N/2.
  • Fórmula:
\text{Mediana}=L+\dfrac{\dfrac{N}{2}-F_{b}}{f_{m}}\;h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe mediana,
  • N é o total de observações,
  • F_{b} é a frequência acumulada antes da classe mediana (ou seja, soma das frequências de todas as classes anteriores),
  • f_{m} é a frequência da classe mediana,
  • h é a amplitude.
Encontremos a classe mediana:
  • N=30 então N/2=15.
  • Frequências acumuladas:
    • até 1ª classe: 5,
    • até 2ª classe: 5+8=13,
    • até 3ª classe: 13+12=25.
  • A posição 15 está na 3ª classe ( 30\vdash40), pois a acumulada antes dela é F_{b}=13. Assim L=30,\; f_{m}=12,\; h=10.
Calcule a mediana:
\text{Mediana}=30+\dfrac{15-13}{12}\cdot 10=30+\dfrac{2}{12}\cdot10=30+\dfrac{10}{6}=30+\dfrac{5}{3}\approx31,666\ldots

Passo 7

(f) Variância e desvio padrão — definição para dados agrupados e cálculo:
  • Para tratar os dados como população (denominação por N) a variância para dados agrupados é
\sigma^{2}=\dfrac{\sum_{i} f_{i}(m_{i}-\bar{x})^{2}}{N},
onde m_i é o ponto médio e \bar{x} a média calculada.
  • O desvio padrão é \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}.
Já temos \bar{x}=\dfrac{92}{3}. Vamos computar as contribuições f_i(m_i-\bar{x})^{2} com precisão racional para evitar erro acumulado.
Diferenças e quadrados (usar frações):
m_{1}-\bar{x}=15-\dfrac{92}{3}=\dfrac{45-92}{3}=-\dfrac{47}{3},\quad (m_{1}-\bar{x})^{2}=\dfrac{47^{2}}{9}=\dfrac{2209}{9}.
m_{2}-\bar{x}=25-\dfrac{92}{3}=\dfrac{75-92}{3}=-\dfrac{17}{3},\quad (m_{2}-\bar{x})^{2}=\dfrac{289}{9}.
m_{3}-\bar{x}=35-\dfrac{92}{3}=\dfrac{105-92}{3}=\dfrac{13}{3},\quad (m_{3}-\bar{x})^{2}=\dfrac{169}{9}.
m_{4}-\bar{x}=45-\dfrac{92}{3}=\dfrac{135-92}{3}=\dfrac{43}{3},\quad (m_{4}-\bar{x})^{2}=\dfrac{1849}{9}.
Multiplicando por f_i:
f_{1}(m_{1}-\bar{x})^{2}=5\cdot\dfrac{2209}{9}=\dfrac{11045}{9},
f_{2}(m_{2}-\bar{x})^{2}=8\cdot\dfrac{289}{9}=\dfrac{2312}{9},
f_{3}(m_{3}-\bar{x})^{2}=12\cdot\dfrac{169}{9}=\dfrac{2028}{9},
f_{4}(m_{4}-\bar{x})^{2}=5\cdot\dfrac{1849}{9}=\dfrac{9245}{9}.
Somando:
\sum_{i} f_{i}(m_{i}-\bar{x})^{2}=\dfrac{11045+2312+2028+9245}{9}=\dfrac{24630}{9}.
Dividindo por N=30 para a variância:
\sigma^{2}=\dfrac{\dfrac{24630}{9}}{30}=\dfrac{24630}{270}=\dfrac{821}{9}\approx91,222\ldots
Desvio padrão:
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{\dfrac{821}{9}}=\dfrac{\sqrt{821}}{3}\approx9,55199\ldots
Observação rápida (motivacional): se sentir inseguro com essas frações, dá para fazer as contas com aproximações decimais passo a passo; aqui mantivemos frações para mais exatidão e depois aproximamos para apresentação final.

Resposta

(a) h=10
(b) pontos médios: m_{1}=15,\; m_{2}=25,\; m_{3}=35,\; m_{4}=45
(c) \bar{x}=\dfrac{920}{30}=\dfrac{92}{3}\approx30,666\ldots
(d) \text{Moda}\approx30+\dfrac{4}{11}\cdot10=\dfrac{370}{11}\approx33,63636\ldots
(e) \text{Mediana}=30+\dfrac{15-13}{12}\cdot10=30+\dfrac{5}{3}\approx31,666\ldots
(f) \sigma^{2}=\dfrac{821}{9}\approx91,222\ldots,\quad \sigma=\dfrac{\sqrt{821}}{3}\approx9,55199\ldots

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