Considere a tabela de distribuição de frequência para salários:
Salários (\mathrm{R} \) & PM & f &f \cdot P M$ Frequência Acumulada
1000 \vdash 1500 8
1500 \vdash 2000 12
2000 \vdash 2500 15
2500 \vdash 3000 5
Total
(a) Complete a tabela.
(b) Calcule o salário médio.
(c) Determine a classe modal.
(d) Qual a porcentagem de funcionários que ganham até \mathrm{R} \ 2000,00$ ?

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com quatro classes de salários e as frequências absolutas de cada classe. Vou listar claramente o que nos dão e o que pedem:
  • Classes (intervalos de salários): [1000,1500), [1500,2000), [2000,2500), [2500,3000).
  • Frequências absolutas: f_1=8, f_2=12, f_3=15, f_4=5.
  • Colunas a completar: PM (ponto médio de cada classe), f\cdot PM e Frequência acumulada.
  • Perguntas:
    (a) Completar a tabela (PM, f\cdot PM, frequência acumulada e totais);
    (b) Calcular o salário médio;
    (c) Determinar a classe modal;
    (d) Qual a porcentagem de funcionários que ganham até \mathrm{R}\$\,2000{,}00 ?

Passo 2

Calcular os pontos médios (PM) de cada classe. Conceito rápido: o ponto médio de uma classe é a média aritmética do limite inferior com o limite superior; isto é, para uma classe [a,b),
PM=\frac{a+b}{2},
onde a é o limite inferior e b o limite superior.
Aplicando:
  • Para [1000,1500): PM_1=\dfrac{1000+1500}{2}=\dfrac{2500}{2}=1250.
  • Para [1500,2000): PM_2=\dfrac{1500+2000}{2}=\dfrac{3500}{2}=1750.
  • Para [2000,2500): PM_3=\dfrac{2000+2500}{2}=\dfrac{4500}{2}=2250.
  • Para [2500,3000): PM_4=\dfrac{2500+3000}{2}=\dfrac{5500}{2}=2750.

Passo 3

Calcular os produtos f_i\cdot PM_i para cada classe (porque para média de dados agrupados usamos esses produtos). Isso é só multiplicar a frequência pelo ponto médio:
  • f_1\cdot PM_1 = 8\cdot1250 = 10000.
  • f_2\cdot PM_2 = 12\cdot1750 = 21000.
  • f_3\cdot PM_3 = 15\cdot2250 = 33750.
  • f_4\cdot PM_4 = 5\cdot2750 = 13750.
Somando os f\cdot PM:
\sum f_i PM_i = 10000 + 21000 + 33750 + 13750 = 78500.

Passo 4

Calcular a frequência acumulada classe a classe e o total de observações N.
Frequência acumulada:
  • Depois da 1ª classe: F_1 = f_1 = 8.
  • Depois da 2ª classe: F_2 = f_1+f_2 = 8+12 = 20.
  • Depois da 3ª classe: F_3 = 20+15 = 35.
  • Depois da 4ª classe: F_4 = 35+5 = 40.
Total de funcionários:
N=\sum f_i = 8+12+15+5 = 40.

Passo 5

Calcular o salário médio (média aritmética para dados agrupados). Fórmula e interpretação: a média ponderada dos pontos médios é
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i PM_i}{\sum_{i} f_i},
onde f_i é a frequência da i-ésima classe, PM_i o ponto médio da i-ésima classe e \sum_i f_i=N o total de observações.
Substituindo os valores que já calculamos:
\bar{x}=\frac{78500}{40}.
Fazendo a divisão:
\bar{x}=1962{,}5.
Interpretando em reais: o salário médio é \mathrm{R}\$\,1962{,}50.

Passo 6

Determinar a classe modal. Conceito: a classe modal é a classe com maior frequência absoluta (aquela onde a maior quantidade de observações está concentrada). Observando as frequências 8,12,15,5, a maior é 15, que corresponde à classe [2000,2500).
Portanto a classe modal é [2000,2500).
Se quiser uma estimativa do valor da moda dentro da classe modal (modo estimado para dados agrupados), usa-se a fórmula de interpolação:
\text{Modo}\approx L_m + \frac{f_m - f_{m-1}}{2f_m - f_{m-1} - f_{m+1}}\cdot h,
onde:
  • L_m é o limite inferior da classe modal,
  • f_m é a frequência da classe modal,
  • f_{m-1} é a frequência da classe anterior,
  • f_{m+1} é a frequência da classe seguinte,
  • h é a amplitude (largura) da classe.
Aqui L_m=2000, f_m=15, f_{m-1}=12, f_{m+1}=5 e h=500. Substituindo:
\text{Modo}\approx 2000 + \frac{15-12}{2\cdot15 -12 -5}\cdot 500 =2000 + \frac{3}{30-17}\cdot500 =2000 + \frac{3}{13}\cdot500 =2000 + \frac{1500}{13}\approx 2000 + 115{,}3846 \approx 2115{,}38.
Assim, a classe modal é [2000,2500) e a moda estimada (valor) é aproximadamente \mathrm{R}\$\,2115{,}38.

Passo 7

Calcular a porcentagem de funcionários que ganham até \mathrm{R}\$\,2000{,}00. Interpretação: “até R$2000,00” inclui as duas primeiras classes [1000,1500) e [1500,2000). A frequência acumulada até essa classe é F_2=20. Então a porcentagem é
\frac{20}{40}\times 100\% = 50\%.

Resposta

(a) Tabela completa (PM, f\cdot PM, frequência acumulada): \
[1000,1500): PM=1250, f\cdot PM=10000, F=8 \
[1500,2000): PM=1750, f\cdot PM=21000, F=20 \
[2000,2500): PM=2250, f\cdot PM=33750, F=35 \
[2500,3000): PM=2750, f\cdot PM=13750, F=40 \
Totais: N=\sum f_i=40, \sum f_i PM_i=78500. \
(b) Salário médio: \mathrm{R}\$\,1962{,}50 \
(c) Classe modal: [2000,2500) (modo estimado \approx\mathrm{R}\$\,2115{,}38) \
(d) Porcentagem até \mathrm{R}\$\,2000{,}00: 50\%

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