Complete a tábua abaixo de maneira que G=e, a, b, c seja um grupo com relação a essa operação.
* e a b c
e e a b c
a a
b b c
c c e a

Passo 1

O enunciado pede para completar a tabela de uma operação * em G = e,a,b,c de modo que (G,*) seja um grupo. Já sabemos que e é o neutro, então a primeira linha e a primeira coluna estão completas: para todo xin G vale
e * x = x, x * e = x

Passo 2

Observando a parte já preenchida, temos
b * a = c, c * a = e, c * b = a
Isso sugere a estrutura de um grupo cíclico de ordem 4, gerado por a, em que
a^1 = a,; a^2 = b,; a^3 = c,; a^4 = e

Passo 3

Com essa hipótese, completamos as multiplicações envolvendo a:
a * a = a^2 = b, a * b = a * a^2 = a^3 = c, a * c = a * a^3 = a^4 = e

Passo 4

Agora preenchemos os produtos de b e c entre si usando potências de a:
b * b = (a^2)*(a^2) = a^4 = e, b * c = a^2 * a^3 = a^5 = a,
c * c = (a^3)*(a^3) = a^6 = a^2 = b

Passo 5

Verificamos que cada linha e cada coluna é uma permutação de e,a,b,c, de modo que existe inverso para todo elemento e a operação é fechada. Assim, formamos um grupo isomorfo a Z4.

Resposta

* e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b

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