Seja a transformação linear
. dada por:
d) Verifique se T é diagonalizável
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
por
Queremos verificar se
é diagonalizável. Para isso precisamos:
. Obter a matriz de
na base canônica;
. Calcular os autovalores (e seus espaços próprios);
. Conferir se há dois autovetores linearmente independentes em
.
Passo 2
Na base canônica
, temos
logo a matriz associada é
Passo 3
O polinômio característico de
é
As raízes são
isto é,
Passo 4
Para
, resolvemos
Um autovetor é
.
Para
, resolvemos
Um autovetor é
.
Os vetores
e
são linearmente independentes em
.]
Resposta
Sim,
é diagonalizável. Os autovalores são
e
e os autovetores correspondentes, por exemplo,
e
, formam uma base de
.