Seja a transformação linear T: R^2 R^2. dada por:
T(x, y)=(4 x+4 y, x+4 y)
d) Verifique se T é diagonalizável

Passo 1

O enunciado define a transformação linear TcolonR^2toR^2 por
T(x,y) = (4x+4y,;x+4y)
Queremos verificar se T é diagonalizável. Para isso precisamos:
1. Obter a matriz de T na base canônica;
2. Calcular os autovalores (e seus espaços próprios);
3. Conferir se há dois autovetores linearmente independentes em R^2.

Passo 2

Na base canônica (1,0),(0,1), temos
T(1,0) = (4,1), T(0,1) = (4,4),
logo a matriz associada é
A = 4 & 4 [6pt] 1 & 4 ]

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) = det!4-lambda & 4[3pt]1 & 4-lambda = (4-lambda)^2 - 4 = lambda^2 - 8lambda + 12
As raízes são
lambda = 8pmraiz64-482 = 8pm42,
isto é,
lambda1 = 5, lambda2 = 3 ]

Passo 4

Para , resolvemos
Um autovetor é .
Para , resolvemos
Um autovetor é .
Os vetores e são linearmente independentes em .]

Resposta

Sim, T é diagonalizável. Os autovalores são lambda1=5 e lambda2=3 e os autovetores correspondentes, por exemplo, (4,1) e (-4,1), formam uma base de R^2.

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