Seja a transformação linear T: R^2 R^2. dada por:
T(x, y)=(4 x+4 y, x+4 y)
c) Calcule os autovetores de T.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear TcolonR^2toR^2 definida por
T(x,y) = (4x + 4y,;x + 4y)
Queremos os autovetores de T, isto é, vetores não nulos v tais que T(v)=lambda v. Para isso precisamos da matriz de T, dos autovalores lambda e em seguida resolver (A-lambda I)v=0.

Passo 2

A matriz associada a T na base canônica é
A = 4 & 4 1 & 4

Passo 3

Calculamos o polinômio característico pela equação det(A-lambda I)=0:
det4-lambda & 4 1 & 4-lambda = (4-lambda)^2 - 4 = 0
Logo
(4-lambda)^2 = 4 Longrightarrow 4-lambda = pm 2
e daí os autovalores são
lambda1 = 4-2 = 2, lambda2 = 4+2 = 6

Passo 4

Para lambda1=2 resolvemos (A-2I)v=0, isto é,
4-2 & 4 1 & 4-2 x y = 2x+4y x+2y = 0 0
Da primeira linha vem 2x+4y=0, ou seja x+2y=0 e x=-2y. Assim os vetores próprios correspondentes são todos os múltiplos de
v1 = -2 1

Passo 5

Para lambda2=6 resolvemos (A-6I)v=0, isto é,
4-6 & 4 1 & 4-6 x y = -2x+4y x-2y = 0 0
Da primeira equação -2x+4y=0 vem -x+2y=0 e x=2y. Portanto os vetores próprios são múltiplos de
v2 = 2 1

Resposta

Os autovetores de T são:
Para lambda=2: todos os múltiplos de l(-2,1r).
Para lambda=6: todos os múltiplos de l(2,1r).

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