Considere a matriz A abaixo.
A=[rrrr 1 & k & -1 & 1 2 & 0 & 0 & 2 -1 & -1 & 0 & 1 1 & 0 & k & 0 ]
a) Para que valores de k a matriz A é inversível?
b) Para k=0 determine A^-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz AinR^4times4 dependente do parâmetro k e pede
(a) os valores de k que tornam A inversível, e
(b) a inversa de A quando k=0.
Para (a) vamos calcular o determinante de A, e para (b) aplicaremos eliminação de Gauss–Jordan em A com k=0.

Passo 2

Calculamos det(A) expandindo pela 2ª{} coluna, que tem apenas dois elementos n~ao nulos a12=k e a32=-1. Isso leva a
det(A)=-k;det!2&0&2-1&0&11&k&0 +(-1)^3+2(-1);det!1&-1&12&0&21&k&0
e um c’alculo direto desses determinantes d’a
det(A)=4k^2-2

Passo 3

A matriz A é inversível se, e somente se, det(A)neq0. Assim
4k^2-2neq0 Long<=ftrightarrow k^2neqtfrac12 Long<=ftrightarrow kneqpm1raiz2

Passo 4

Para k=0, escrevemos
A0= 1&0&-1&1 2&0&0&2 -1&-1&0&1 1&0&0&0
e montamos a matriz aumentada l[A0mid I4r]. Em seguida aplicamos eliminação de Gauss para obter forma triangular superior, usando, por exemplo,
R2to R2-2R1, R3to R3+R1, R4to R4-R1,
depois trocas de linha para pivotar em cada coluna e normalização dos pivôs.

Passo 5

Prosseguindo com Gauss–Jordan, eliminamos todos os elementos acima e abaixo de cada pivô e normalizamos cada linha. Isso transforma l[A0mid I4r] em l[I4mid A0^-1r], com
A0^-1= 0&0&0&1 0&tfrac12&-1&-2 -1&tfrac12&0&0 0&tfrac12&0&-1

Resposta

a) A é inversível para todos os k tais que
kneqpm1raiz2
b) Para k=0,
A^-1= 0 & 0 & 0 & 1 0 & tfrac12 & -1 & -2 -1 & tfrac12 & 0 & 0 0 & tfrac12 & 0 & -1

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