Determine se os conjuntos abaixo são grupos com a operação indicada: com a operação definida por .
Passo 1
O enunciado pede para ver se o conjunto (os complexos não-nulos) com a operação
é um grupo. Para isso, precisamos checar quatro axiomas:
fechamento,
associatividade,
existência de elemento identidade,
existência de inversos.
Passo 2
Fechamento e associatividade.
Fechamento: se , então e , logo .
Associatividade: para quaisquer ,
e
z*(w*u) = z*(|w|,u) = |z|,(|w|,u) = (|z|;|w|),u,
portanto (z*w)*u = z*(w*u).
Passo 3
Elemento identidade.
Se existisse einC^* tal que para todo winC^* tivéssemos
e*w = w Longrightarrow |e|,w = w Rightarrow |e| = 1,
e também
w*e = w Longrightarrow |w|,e = w Rightarrow e = w|w|
Mas esse segundo dá um valor de e que depende de w, não há um único e que funcione para todos. Logo não existe elemento identidade em C^* com essa operação.
Passo 4
Sem identidade, falha o axioma fundamental de grupo, não precisamos nem buscar inversos.
Resposta
Não. C^* com z*w=|z|,w não é grupo, pois não há elemento identidade.