Determine se os conjuntos abaixo são grupos com a operação indicada:
C^* com a operação * definida por z * w=|z| w.

Passo 1

O enunciado pede para ver se o conjunto C^* (os complexos não-nulos) com a operação
z * w = |z|,w
é um grupo. Para isso, precisamos checar quatro axiomas:
  1. fechamento,
  2. associatividade,
  3. existência de elemento identidade,
  4. existência de inversos.

Passo 2

Fechamento e associatividade.
  • Fechamento: se z,winC^*, então |z|inR>0 e |z|,wneq0, logo z*winC^*.
  • Associatividade: para quaisquer z,w,uinC^*,
(z*w)*u = (|z|,w)*u = l||z|,wr|,u = (|z|;|w|),u
e
z*(w*u) = z*(|w|,u) = |z|,(|w|,u) = (|z|;|w|),u,
portanto (z*w)*u = z*(w*u).

Passo 3

Elemento identidade.
Se existisse einC^* tal que para todo winC^* tivéssemos
e*w = w Longrightarrow |e|,w = w Rightarrow |e| = 1,
e também
w*e = w Longrightarrow |w|,e = w Rightarrow e = w|w|
Mas esse segundo dá um valor de e que depende de w, não há um único e que funcione para todos. Logo não existe elemento identidade em C^* com essa operação.

Passo 4

Sem identidade, falha o axioma fundamental de grupo, não precisamos nem buscar inversos.

Resposta

Não. C^* com z*w=|z|,w não é grupo, pois não há elemento identidade.

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