Complete com
para verdadeiro e
para falso. Dê um contraexemplo para aquelas que julgar falsas.
( ) Sejam
e c três números inteiros. Se a divide b e b divide c , então a divide c .
( ) Sejam a, b e c três números inteiros tais que
. Se um número inteiro
divide
, então ele divide
e b.
( ) Sejam
e
três números inteiros tais que
. Se um número inteiro
divide
e
, então ele divide
.
( ) Todo número ímpar é primo.
( ) Todo número primo é ímpar.
( ) Sejam
( ) Sejam a, b e c três números inteiros tais que
( ) Sejam
( ) Todo número ímpar é primo.
( ) Todo número primo é ímpar.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco afirmações sobre divisibilidade de inteiros e sobre números primos e ímpares, e nos pede para marcar cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F). Sempre que for falsa, devemos dar um contraexemplo. Vamos usar a definição de “
divide
” (existe inteiro
tal que
) e propriedades básicas de divisibilidade e de números primos/ímpares.
Passo 2
A afirmação “Sejam
inteiros. Se
divide
e
divide
, então
divide
” é a propriedade de transitividade da divisibilidade. De fato, se
e
, então
logo
divide
. Portanto é verdadeira.
Passo 3
A afirmação “Sejam
inteiros tais que
. Se um inteiro
divide
, então ele divide
e
” não é geral, pois dividir a soma não implica dividir cada parcela. Contraexemplo: tome
,
, então
. O inteiro
divide
(pois
), mas não divide
nem
. Logo é falsa.
Passo 4
A afirmação “Sejam
inteiros tais que
. Se um inteiro
divide
e
, então ele divide
” é a propriedade de que a divisão preserva soma. De fato, se
e
, então
logo
divide
. Portanto é verdadeira.
Passo 5
A afirmação “Todo número ímpar é primo” é falsa, pois há ímpares compostos. Contraexemplo:
é ímpar, mas não é primo (
).
Passo 6
A afirmação “Todo número primo é ímpar” também é falsa, pois há um primo par. Contraexemplo:
é primo, mas é par.
Resposta
(V) Se
e
, então
.
(F) Se e
, então
e
. Ex.:
,
mas
.
(V) Se e
,
, então
.
(F) Todo número ímpar é primo. Ex.: é ímpar e
não é primo.
(F) Todo número primo é ímpar. Ex.: é primo e
é par.
(F) Se
(V) Se
(F) Todo número ímpar é primo. Ex.:
(F) Todo número primo é ímpar. Ex.: