Complete com V para verdadeiro e F para falso. Dê um contraexemplo para aquelas que julgar falsas.
( ) Sejam a, b e c três números inteiros. Se a divide b e b divide c , então a divide c .
( ) Sejam a, b e c três números inteiros tais que a+b=c. Se um número inteiro d divide c, então ele divide a e b.
( ) Sejam a, b e c três números inteiros tais que a+b=c. Se um número inteiro d divide a e b, então ele divide c.
( ) Todo número ímpar é primo.
( ) Todo número primo é ímpar.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco afirmações sobre divisibilidade de inteiros e sobre números primos e ímpares, e nos pede para marcar cada uma como verdadeira (V) ou falsa (F). Sempre que for falsa, devemos dar um contraexemplo. Vamos usar a definição de “ a divide b” (existe inteiro k tal que b = acdot k) e propriedades básicas de divisibilidade e de números primos/ímpares.

Passo 2

A afirmação “Sejam a,b,c inteiros. Se a divide b e b divide c, então a divide c” é a propriedade de transitividade da divisibilidade. De fato, se b = a k e c = bell, então
c = (a k)ell = a,(kell),
logo a divide c. Portanto é verdadeira.

Passo 3

A afirmação “Sejam a,b,c inteiros tais que a+b=c. Se um inteiro d divide c, então ele divide a e b” não é geral, pois dividir a soma não implica dividir cada parcela. Contraexemplo: tome a=2, b=3, então c=5. O inteiro d=5 divide c (pois 5=5cdot1), mas não divide a=2 nem b=3. Logo é falsa.

Passo 4

A afirmação “Sejam a,b,c inteiros tais que a+b=c. Se um inteiro d divide a e b, então ele divide c” é a propriedade de que a divisão preserva soma. De fato, se a=d k e b=dell, então
c = a+b = d k + dell = d,(k+ell),
logo d divide c. Portanto é verdadeira.

Passo 5

A afirmação “Todo número ímpar é primo” é falsa, pois há ímpares compostos. Contraexemplo: 9 é ímpar, mas não é primo ( 9=3cdot3).

Passo 6

A afirmação “Todo número primo é ímpar” também é falsa, pois há um primo par. Contraexemplo: 2 é primo, mas é par.

Resposta

(V) Se amid b e bmid c, então amid c.
(F) Se a+b=c e dmid c, então dmid a e dmid b. Ex.: 2+3=5, 5mid5 mas 5nmid2.
(V) Se a+b=c e dmid a, dmid b, então dmid c.
(F) Todo número ímpar é primo. Ex.: 9 é ímpar e 9 não é primo.
(F) Todo número primo é ímpar. Ex.: 2 é primo e 2 é par.

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