Encontre o polinomio caracteristico, os autovalores e autovetores de cada matriz:
[ccc1 & 0 & 0 -1 & 3 & 0 3 & 2 & -2]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 & 0 -1 & 3 & 0 3 & 2 & -2
e pede o polinômio característico, os autovalores e os autovetores.
Conteúdo: caráter espectral de matrizes, uso de determinante para achar o polinômio característico e solução de (A-lambda I)v=0 para encontrar autovetores.

Passo 2

Como A é triangular inferior, seus autovalores são os elementos da diagonal. Mas vamos calcular o polinômio característico de forma sistemática:
p(lambda)=det(lambda I - A) =det! lambda-1 & 0 & 0 1 & lambda-3 & 0 -3 & -2 & lambda+2 =(lambda-1)(lambda-3)(lambda+2)
Expandindo em forma monica:
p(lambda)=lambda^3 - 2lambda^2 -5lambda + 6
Logo, os autovalores são
lambda1=1, lambda2=3, lambda3=-2.

Passo 3

Para lambda1=1, resolvemos (A - I)v=0:
A - I = 0 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 3 & 2 & -3 , v=(x1,x2,x3)^T
As equações são
-,x1 + 2x2 = 0, 3x1 + 2x2 - 3x3 = 0
Da primeira vem x1=2x2. Substituindo na segunda:
3(2x2)+2x2 - 3x3 = 8x2 -3x3 =0 Longrightarrow x3 = tfrac83x2
Tomando x2=3 para evitar frações, um autovetor associado é
v1 = (6,,3,,8)^T

Passo 4

Para lambda2=3, resolvemos (A - 3I)v=0:
A - 3I = -2 & 0 & 0 -1 & 0 & 0 3 & 2 & -5
As equações dão
-2x1=0;Rightarrow;x1=0, 2x2 - 5x3=0;Rightarrow;x2=tfrac52x3
Tomando x3=2, obtemos um autovetor
v2 = (0,,5,,2)^T

Passo 5

Para lambda3=-2, resolvemos (A + 2I)v=0:
A + 2I = 3 & 0 & 0 -1 & 5 & 0 3 & 2 & 0
As equações são
3x1=0;Rightarrow;x1=0, -,x1 +5x2=0;Rightarrow;x2=0,
e x3 é livre. Então um autovetor é
v3 = (0,,0,,1)^T

Resposta

Polinômio característico:
p(lambda)=det(lambda I - A) = (lambda-1)(lambda-3)(lambda+2) = lambda^3 -2lambda^2 -5lambda +6
Autovalores:
lambda1 = 1, lambda2 = 3, lambda3 = -2
Autovetores correspondentes:
v1 = 638, v2 = 052, v3 = 001

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