Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Demonstre as afirmações verdadeiras e dê contra-exemplo para as falsas:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado trabalha com uma probabilidade
sobre o espaço de eventos
e diz que, se
, então
O que vamos usar é o axioma de aditividade de
para eventos disjuntos.
Passo 2
Quando
, o conjunto
se decompõe em duas partes disjuntas:
-
-
Ou seja,
e
Passo 3
Pelo axioma de aditividade de uma probabilidade em dois eventos disjuntos, temos
Como
, isso fica
Passo 4
Bastou então isolar
. Subtraindo
de ambos os lados,
Resposta
A afirmação é verdadeira e resulta diretamente da decomposição de
em dois eventos disjuntos e da aditividade de
.