Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto Omega. Demonstre as afirmações verdadeiras e dê contra-exemplo para as falsas:
Se A subseteq B, então P(B-A)=P(B)-P(A).

Passo 1

O enunciado trabalha com uma probabilidade P sobre o espaço de eventos Omega e diz que, se ,Asubseteq B, então
P(B - A) ;=; P(B) ;-; P(A)
O que vamos usar é o axioma de aditividade de P para eventos disjuntos.

Passo 2

Quando Asubseteq B, o conjunto B se decompõe em duas partes disjuntas:
  1. A
  2. B-A
    Ou seja,
B ;=; A ;cup;(B - A),
e
A ;cap;(B - A);=;emptyset

Passo 3

Pelo axioma de aditividade de uma probabilidade em dois eventos disjuntos, temos
Pl(Acup(B - A)r) ;=; P(A);+;P(B - A)
Como Acup(B - A)=B, isso fica
P(B)=P(A)+P(B - A)

Passo 4

Bastou então isolar P(B - A). Subtraindo P(A) de ambos os lados,
P(B-A) ;=; P(B);-;P(A)

Resposta

A afirmação é verdadeira e resulta diretamente da decomposição de B em dois eventos disjuntos e da aditividade de P.

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