Complete com verdadeiro ou falso e justifique sua resposta! Caso a sentença seja verdadeira, utilize a teoria estudada para justificar sua resposta. Caso a sentença seja falsa, basta apresentar um contra-exemplo.
(a) Se A e B são matrizes reais 2 \times 2 não nulas, então obrigatoriamente A \cdot B é não nula também.
(b) Para toda matriz A e B sempre é verdade que A B \neq B A

Passo 1

O enunciado pede para julgar duas sentenças sobre multiplicação de matrizes reais. Em (a) queremos saber se duas matrizes 2\times2 não nulas podem ter produto nulo; em (b) se sempre vale AB\neq BA. Para resolver vamos usar exemplos de matrizes de posto 1 ou a matriz identidade para construir contra-exemplos.

Passo 2

Para a sentença (a) basta encontrar duas matrizes A,B\in M_{2\times 2}(\mathbb{R}) não nulas tais que AB=0. Considere
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Então
AB = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot0 + 0\cdot0 & 1\cdot0 + 0\cdot1 \\[3pt] 0\cdot0 + 0\cdot0 & 0\cdot0 + 0\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Embora A\neq0 e B\neq0, temos AB=0.]

Passo 3

Logo, a sentença (a) é falsa.

Passo 4

Para a sentença (b) basta achar um par A,B tal que AB=BA. A escolha mais simples é usar a matriz identidade I. Sejam
A = \text{qualquer matriz em }M_{n\times n}(\mathbb{R}), \quad B = I_n.
Então
AB = A\cdot I_n = A \quad\text{e}\quad BA = I_n\cdot A = A,
logo AB = BA.

Resposta

(a) Falsa. Exemplo:
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\\ B=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\\ AB=0.
(b) Falsa. Exemplo: para qualquer A, tomando B=I tem AB=BA.

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