Complete com verdadeiro ou falso e justifique sua resposta! Caso a sentença seja verdadeira, utilize a teoria estudada para justificar sua resposta. Caso a sentença seja falsa, basta apresentar um contra-exemplo.
(a) Se
e
são matrizes reais
não nulas, então obrigatoriamente
é não nula também.
(b) Para toda matriz A e B sempre é verdade que
(a) Se
(b) Para toda matriz A e B sempre é verdade que
Passo 1
O enunciado pede para julgar duas sentenças sobre multiplicação de matrizes reais. Em (a) queremos saber se duas matrizes
não nulas podem ter produto nulo; em (b) se sempre vale
. Para resolver vamos usar exemplos de matrizes de posto
ou a matriz identidade para construir contra-exemplos.
Passo 2
Para a sentença (a) basta encontrar duas matrizes
não nulas tais que
. Considere
Então
Embora
e
, temos
.]
Passo 3
Logo, a sentença (a) é falsa.
Passo 4
Para a sentença (b) basta achar um par
tal que
. A escolha mais simples é usar a matriz identidade
. Sejam
Então
logo
.
Resposta
(a) Falsa. Exemplo:
(b) Falsa. Exemplo: para qualquer
, tomando
tem
.