Considere a superfície de equação
, onde
é uma constante real.
(a) Classifique as superfícies obtidas quando
i.
ii.
iii.
(b) Para
encontre e identifique as interseções da superfície dada com os planos coordenados e com os planos
e
.
(c) Para
represente geometricamente a superfície dada.
(a) Classifique as superfícies obtidas quando
i.
ii.
iii.
(b) Para
(c) Para
Passo 1
O enunciado trata da superfície quádrupla dada por
onde
é real.
Na parte (a) vamos usar a classificação padrão de seções transversais para quadricas centradas na origem.
Na parte (b), com , substituímos no plano em questão para achar a curva de interseção e depois identificamos seu tipo (círculo ou hipérbole).
Na parte (c) descrevemos geometricamente a forma da superfície para .
Na parte (a) vamos usar a classificação padrão de seções transversais para quadricas centradas na origem.
Na parte (b), com
Na parte (c) descrevemos geometricamente a forma da superfície para
Passo 2
(a) Classificação segundo o sinal de
:
i. Se , ao fixar
não há pontos reais, mas para
as seções
são círculos. Isso gera duas “folhas” desconectadas (uma para
e outra para
). Portanto é um hiperbolóide de duas folhas.
ii. Se , a equação fica
, que é exatamente um cone duplo (duas nappes) com vértice na origem.
iii. Se , ao fixar qualquer
sempre dá
, ou seja, seções circulares não nulas para todo
. A superfície é uma folha única, o hiperbolóide de uma folha.
i. Se
ii. Se
iii. Se
Passo 3
(b) Agora
, a superfície é
Interseções com os planos coordenados:
- Plano
:
que é um círculo de raio
no plano
.
- Plano
:
que é uma hipérbole no plano
, abrindo ao longo do eixo
.
- Plano
:
que é uma hipérbole no plano
, abrindo ao longo do eixo
.
Passo 4
Interseções com
e
:
- Para
:
ou seja, um círculo de raio
no plano
.
- Para
: faz o mesmo cálculo e obtém-se também
um círculo de raio
no plano
.
Passo 5
(c) Geometricamente, para
a superfície é um hiperbolóide de uma folha de revolução em torno do eixo
.
Cada seção horizontal é um círculo de raio
Cada seção horizontal
e cada seção vertical por planos
ou
é uma hipérbole. A superfície é simétrica em relação à origem e ao eixo
, formando uma “sela” circular que se alarga indefinidamente para
.
Resposta
(a)
i. : hiperbolóide de duas folhas.
ii. : cone duplo.
iii. : hiperbolóide de uma folha.
i.
ii.
iii.
(b) Para
:
-
: círculo . -
: hipérbole . -
: hipérbole . -
: círculo . -
: círculo .
(c) A superfície é um hiperbolóide de uma folha de revolução em torno do eixo
, com seções horizontais circulares de raio
.