Considere a superfície de equação x^{2}+y^{2}-z^{2}=k, onde k é uma constante real.
(a) Classifique as superfícies obtidas quando
i. k<0
ii. k=0
iii. k>0
(b) Para k=4 encontre e identifique as interseções da superfície dada com os planos coordenados e com os planos z=4 e z=-4.
(c) Para k=4 represente geometricamente a superfície dada.

Passo 1

O enunciado trata da superfície quádrupla dada por
x^{2}+y^{2}-z^{2}=k,
onde k é real.
Na parte (a) vamos usar a classificação padrão de seções transversais para quadricas centradas na origem.
Na parte (b), com k=4, substituímos no plano em questão para achar a curva de interseção e depois identificamos seu tipo (círculo ou hipérbole).
Na parte (c) descrevemos geometricamente a forma da superfície para k=4.

Passo 2

(a) Classificação segundo o sinal de k:
i. Se k<0, ao fixar z=0 não há pontos reais, mas para \lvert z\rvert\ge\sqrt{-k} as seções x^{2}+y^{2}=z^{2}+k\ge0 são círculos. Isso gera duas “folhas” desconectadas (uma para z\ge\sqrt{-k} e outra para z\le-\sqrt{-k}). Portanto é um hiperbolóide de duas folhas.
ii. Se k=0, a equação fica x^{2}+y^{2}=z^{2}, que é exatamente um cone duplo (duas nappes) com vértice na origem.
iii. Se k>0, ao fixar qualquer z sempre dá x^{2}+y^{2}=z^{2}+k>0, ou seja, seções circulares não nulas para todo z. A superfície é uma folha única, o hiperbolóide de uma folha.

Passo 3

(b) Agora k=4, a superfície é
x^{2}+y^{2}-z^{2}=4.
Interseções com os planos coordenados:
  • Plano z=0:
x^{2}+y^{2}=4,
que é um círculo de raio 2 no plano xy.
  • Plano x=0:
y^{2}-z^{2}=4,
que é uma hipérbole no plano yz, abrindo ao longo do eixo y.
  • Plano y=0:
x^{2}-z^{2}=4,
que é uma hipérbole no plano xz, abrindo ao longo do eixo x.

Passo 4

Interseções com z=4 e z=-4:
  • Para z=4:
x^{2}+y^{2}-4^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=20,
ou seja, um círculo de raio \sqrt{20} no plano z=4.
  • Para z=-4: faz o mesmo cálculo e obtém-se também
x^{2}+y^{2}=20,
um círculo de raio \sqrt{20} no plano z=-4.

Passo 5

(c) Geometricamente, para k=4>0 a superfície é um hiperbolóide de uma folha de revolução em torno do eixo z.
Cada seção horizontal z=\text{const} é um círculo de raio
r(z)=\sqrt{z^{2}+4},
e cada seção vertical por planos x=0 ou y=0 é uma hipérbole. A superfície é simétrica em relação à origem e ao eixo z, formando uma “sela” circular que se alarga indefinidamente para \lvert z\rvert\to\infty.

Resposta

(a)
i. k<0: hiperbolóide de duas folhas.
ii. k=0: cone duplo.
iii. k>0: hiperbolóide de uma folha.
(b) Para k=4:
  • z=0: círculo x^{2}+y^{2}=4.
  • x=0: hipérbole y^{2}-z^{2}=4.
  • y=0: hipérbole x^{2}-z^{2}=4.
  • z=4: círculo x^{2}+y^{2}=20.
  • z=-4: círculo x^{2}+y^{2}=20.
(c) A superfície é um hiperbolóide de uma folha de revolução em torno do eixo z, com seções horizontais circulares de raio \sqrt{z^{2}+4}.

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