A equação horária de um móvel é s=\frac{1}{2} \boldsymbol{a} \boldsymbol{t}^{2}. Sabendo que \boldsymbol{a}=(\mathbf{2 , 2 6} \pm \mathbf{0 , 0 9}) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} calcule a posição do móvel no instante t=(3,50 \pm 0,20) s. Obs: utilize as teorias do desvio máximo e do desvio padrão.

Passo 1

O enunciado dá a equação horária de posição
s = \frac{1}{2}\,a\,t^2
com a = (2,26 \pm 0,09)\,\mathrm{m/s^2} e t = (3,50 \pm 0,20)\,\mathrm{s}.
Vamos calcular o valor nominal de s e depois propagar as incertezas usando (i) o desvio máximo e (ii) o desvio padrão, aplicando derivadas parciais.

Passo 2

Calcular o valor nominal de s:
s_0 = \frac{1}{2}\,a\,t^2 = \frac{1}{2}\cdot 2,26 \cdot (3,50)^2 = 13,84\;\mathrm{m}.

Passo 3

Determinar as derivadas parciais de s em relação a a e a t:
\frac{\partial s}{\partial a} = \frac{1}{2}\,t^2, \qquad \frac{\partial s}{\partial t} = a\,t.
Avaliando nos valores nominais:
\frac{\partial s}{\partial a}\Big|_{0} = \frac{1}{2}\,(3,50)^2 = 6,125, \quad \frac{\partial s}{\partial t}\Big|_{0} = 2,26\cdot3,50 = 7,91.
Logo as contribuições absolutas das incertezas são
\Delta s_a = 6,125\cdot0,09 = 0,5513\;\mathrm{m}, \quad \Delta s_t = 7,91\cdot0,20 = 1,582\;\mathrm{m}.

Passo 4

Aplicar a teoria do desvio máximo (soma das contribuições):
\Delta s_{\max} = \Delta s_a + \Delta s_t = 0,5513 + 1,582 = 2,1333\approx2,13\;\mathrm{m}.

Passo 5

Aplicar a teoria do desvio padrão (raiz da soma dos quadrados):
\sigma_s = \sqrt{( \Delta s_a )^2 + ( \Delta s_t )^2} = \sqrt{0,5513^2 + 1,582^2} = 1,676\approx1,68\;\mathrm{m}.

Resposta

s = 13,84\;\mathrm{m}
Desvio máximo: \Delta s_{\max} = 2,13\;\mathrm{m}
Desvio padrão: \sigma_s = 1,68\;\mathrm{m}

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