Um componente de um determinado tipo, cujo tempo de vida segue distribição exponencial com parâmetro lambda desconhecido, será posto em teste.
Se metade do tempo médio de vida deste componente já foi alcançado e o mesmo ainda está em funcionamento, qual a probabilidade dele ainda estar em funcionamento após ultrapassado o tempo médio de duração deste tipo de componente?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um componente cuja vida útil segue uma distribuição exponencial com parâmetro desconhecido lambda. Queremos saber qual a probabilidade desse componente ainda estar funcionando depois de ultrapassar o tempo médio de vida, dado que já passou metade desse tempo médio e ele ainda está funcionando. Para resolver isso, vamos precisar entender a distribuição exponencial e a propriedade de “memória sem memória” que ela possui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tempo médio de vida desse componente. Na distribuição exponencial, o tempo médio de vida é dado por E[T] = 1lambda. Então, metade do tempo médio de vida é 12lambda.

Passo 3

A questão nos diz que o componente já está funcionando após 12lambda. Queremos achar a probabilidade de que ele continue funcionando além do tempo médio de vida, ou seja, até t = 1lambda, dado que já sobreviveu até t = 12lambda.

Passo 4

Aqui entra a propriedade de “memória sem memória” da distribuição exponencial. Essa propriedade nos diz que a probabilidade de o componente durar mais um certo tempo s, dado que já durou até o tempo t, é a mesma que a probabilidade de durar mais s independentemente de t. Matematicamente, isso é expresso como:
P(T > t + s mid T > t) = P(T > s)

Passo 5

Aplicando essa propriedade, queremos calcular P(T > 1lambda mid T > 12lambda). Segundo a memória sem memória:
P(T > 1lambda mid T > 12lambda) = P(T > 1lambda - 12lambda) = P(T > 12lambda)

Passo 6

Agora, vamos calcular P(T > 12lambda). Para a distribuição exponencial, a função de sobrevivência é:
P(T > t) = e^-lambda t
Substituindo t = 12lambda:
P(T > 12lambda) = e^-lambda cdot 12lambda = e^-12 approx 0,6065

Resposta

A probabilidade de o componente ainda estar em funcionamento após ultrapassar o tempo médio de vida, dado que já passou metade desse tempo e ainda está funcionando, é aproximadamente 60,65%.

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