Suponha que o mesmo tipo de fusível é fabricado por duas empresas diferentes, de forma que: o tempo de vida do fusível fabricado pela Empresa I (denotado pela v.a. X ) segue distribuição exponencial com duração média de 100 horas; e o tempo de vida do fusível fabricado pela Empresa II (denotado pela v.a Y ) segue distribuição exponencial com duração média de 160 horas.
Um fusível da Empresa I é posto sob teste. Qual a probabilidade dele funcionar mais de 500 horas, dada a informação de que ele já está funcionando há 200 horas?

Passo 1

Vamos resumir a questão: Estamos analisando o tempo de vida de um fusível fabricado pela Empresa I, que segue uma distribuição exponencial com média de 100 horas. Precisamos determinar a probabilidade de esse fusível funcionar por mais de 500 horas, sabendo que ele já está funcionando há 200 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a propriedade de “sem memória” da distribuição exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo até a ocorrência de um evento, como o tempo de vida de um fusível. A média dessa distribuição é dada por $ \mu = \frac{1}{\lambda} $, onde $ \lambda $ é a taxa de ocorrência. No nosso caso, a média é 100 horas, então:
mu = 1lambda

Passo 3

A propriedade de “sem memória” da distribuição exponencial nos diz que o tempo restante até o evento não depende de quanto tempo já passou. Matematicamente, isso é expresso como:
P(X > s + t mid X > s) = P(X > t)
No nosso problema, queremos $ P(X > 500 \mid X > 200) $. Aplicando a propriedade:
P(X > 500 mid X > 200)

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(X > 300) $. Para a distribuição exponencial, a função de sobrevivência é:
P(X > 300)
Substituindo os valores:
P(X > t) = e^-lambda t

Resposta

A probabilidade de o fusível funcionar mais de 500 horas, dado que já está funcionando há 200 horas, é aproximadamente 4,98%.

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