Suponha que o mesmo tipo de fusível é fabricado por duas empresas diferentes, de forma que: o tempo de vida do fusível fabricado pela Empresa I (denotado pela v.a. X ) segue distribuição exponencial com duração média de 100 horas; e o tempo de vida do fusível fabricado pela Empresa II (denotado pela v.a Y ) segue distribuição exponencial com duração média de 160 horas.
Qual a probabilidade de um fusível fabricado pela Empresa I durar mais de 160 horas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o tempo de vida de fusíveis fabricados por duas empresas diferentes. O foco aqui é na Empresa I, cujo tempo de vida do fusível, representado pela variável aleatória $ X $, segue uma distribuição exponencial com duração média de 100 horas. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de um fusível dessa empresa durar mais de 160 horas. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade relacionados à distribuição exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo até que um evento aconteça, como a falha de um fusível. A distribuição exponencial tem uma única parâmetro, $ \lambda $, que é a taxa de ocorrência do evento. A média dessa distribuição é dada por $ \frac{1}{\lambda} $.

Passo 3

No nosso caso, a média do tempo de vida do fusível da Empresa I é de 100 horas. Isso significa que:
Média = 1lambda = 100 , horas é
Então, podemos encontrar $ \lambda $:
lambda

Passo 4

Queremos descobrir a probabilidade de $ X $ ser maior que 160 horas, ou seja, $ P(X > 160) $. Para a distribuição exponencial, a função de sobrevivência (a probabilidade de durar mais que um certo tempo) é dada por:
X

Passo 5

Substituindo os valores que já temos na fórmula:
P(X > 160) = e^-0,01 times 160 = e^-1,6

Passo 6

Agora, vamos calcular $ e^{-1,6} $. Usando uma calculadora ou uma tabela de valores exponenciais:
e^-1,6

Resposta

A probabilidade de um fusível fabricado pela Empresa I durar mais de 160 horas é de aproximadamente 20,19%.

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