Um componente de um determinado tipo, cujo tempo de vida segue distribição exponencial com parâmetro
desconhecido, será posto em teste.
Se vários componentes deste tipo são testados e apresentam duração média de cerca de 20.000 horas, qual distribuição podemos asumir para o tempo de vida (em horas) deste tipo de componente?
Se vários componentes deste tipo são testados e apresentam duração média de cerca de 20.000 horas, qual distribuição podemos asumir para o tempo de vida (em horas) deste tipo de componente?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um componente cujo tempo de vida segue uma distribuição exponencial com um parâmetro desconhecido, chamado
. Foi feito um teste com vários desses componentes, e a duração média observada foi de aproximadamente 20.000 horas. A pergunta é: qual distribuição podemos assumir para o tempo de vida (em horas) desse tipo de componente?
Vamos precisar entender um pouquinho sobre Distribuição Exponencial, parâmetro
, e como a média está relacionada a esse parâmetro para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Distribuição Exponencial. Essa distribuição é muito usada para modelar o tempo que leva para um determinado evento ocorrer, como o tempo de vida de um componente eletrônico. Ela é caracterizada por um parâmetro
, que é a taxa de ocorrência do evento.
A função densidade de probabilidade da Distribuição Exponencial é dada por:
onde
.
Passo 3
A média (ou valor esperado) da Distribuição Exponencial está relacionada ao parâmetro
da seguinte forma:
Esse é um ponto importante porque a questão nos dá a média observada nos testes.
Passo 4
Sabemos que a duração média observada dos componentes nos testes foi de 20.000 horas. Podemos usar essa informação para encontrar o valor de
.
A fórmula da média é:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 5
Resolvendo a equação:
Então,
Passo 6
Agora que encontramos o valor de
, podemos afirmar qual distribuição estamos assumindo para o tempo de vida dos componentes. Como já foi dado que segue uma distribuição exponencial e acabamos de determinar
, podemos expressar a distribuição com esses valores.
Resposta
Portanto, o tempo de vida (em horas) desse tipo de componente pode ser assumido como seguindo uma Distribuição Exponencial com parâmetro
, ou seja: