Um componente de um determinado tipo, cujo tempo de vida segue distribição exponencial com parâmetro lambda desconhecido, será posto em teste.
Se vários componentes deste tipo são testados e apresentam duração média de cerca de 20.000 horas, qual distribuição podemos asumir para o tempo de vida (em horas) deste tipo de componente?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um componente cujo tempo de vida segue uma distribuição exponencial com um parâmetro desconhecido, chamado lambda. Foi feito um teste com vários desses componentes, e a duração média observada foi de aproximadamente 20.000 horas. A pergunta é: qual distribuição podemos assumir para o tempo de vida (em horas) desse tipo de componente?
Vamos precisar entender um pouquinho sobre Distribuição Exponencial, parâmetro lambda, e como a média está relacionada a esse parâmetro para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Distribuição Exponencial. Essa distribuição é muito usada para modelar o tempo que leva para um determinado evento ocorrer, como o tempo de vida de um componente eletrônico. Ela é caracterizada por um parâmetro lambda, que é a taxa de ocorrência do evento.
A função densidade de probabilidade da Distribuição Exponencial é dada por:
f(t) = lambda e^-lambda t
onde t >= 0.

Passo 3

A média (ou valor esperado) da Distribuição Exponencial está relacionada ao parâmetro lambda da seguinte forma:
Média = 1lambda é
Esse é um ponto importante porque a questão nos dá a média observada nos testes.

Passo 4

Sabemos que a duração média observada dos componentes nos testes foi de 20.000 horas. Podemos usar essa informação para encontrar o valor de lambda.
A fórmula da média é:
20.000 = 1lambda
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar lambda.

Passo 5

Resolvendo a equação:
lambda = 120.000
Então,
lambda = 0,00005 horas^-1

Passo 6

Agora que encontramos o valor de lambda, podemos afirmar qual distribuição estamos assumindo para o tempo de vida dos componentes. Como já foi dado que segue uma distribuição exponencial e acabamos de determinar lambda, podemos expressar a distribuição com esses valores.

Resposta

Portanto, o tempo de vida (em horas) desse tipo de componente pode ser assumido como seguindo uma Distribuição Exponencial com parâmetro lambda = 0,00005 horas^-1, ou seja:
T sim Exponencial(lambda = 0,00005)

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