O número de clientes que chegam por hora em certo estabelecimento se comporta conforme uma distribuição de Poisson com média de 10 clientes por hora.
Determine a probabilidade do tempo entre as chegadas do primeiro e do segundo cliente ser menor do que meia hora.

Passo 1

Beleza, a questão diz que a quantidade de clientes que chegam por hora num lugar segue uma distribuição de Poisson com média de 10 clientes por hora. Vamos usar conceitos de processos de Poisson e distribuição exponencial para descobrir a probabilidade de que o tempo entre a chegada do primeiro e do segundo cliente seja menor que meia hora.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber que, em um processo de Poisson, o tempo entre chegadas de clientes segue uma distribuição exponencial. Isso significa que o tempo que leva para chegar o próximo cliente é uma variável aleatória com certa probabilidade.

Passo 3

A distribuição exponencial tem uma função de probabilidade acumulada (CDF) que nos dá a probabilidade de o tempo $ T $ entre chegadas ser menor que um certo valor $ t $:
T
Aqui, $ \lambda $ é a taxa média de chegada por unidade de tempo. No nosso caso, $ \lambda = 10 $ clientes por hora.

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de que o tempo entre o primeiro e o segundo cliente seja menor que meia hora (0,5 horas). Então, substituímos na fórmula:
P(T < 0,5) = 1 - e^-10 times 0,5 = 1 - e^-5

Passo 5

Agora, vamos calcular $ e^{-5} $:
e^-5
Então,
e^-5 approx 0,006737947

Resposta

A probabilidade de que o tempo entre a chegada do primeiro e do segundo cliente seja menor que meia hora é aproximadamente 0,9933 ou 99,33%.

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