O número de clientes que chegam por hora em certo estabelecimento se comporta conforme uma distribuição de Poisson com média de 10 clientes por hora.
Qual a distribuição da variável aleatória
: tempo (em horas) entre a chegada de dois clientes consecutivos?
Qual a distribuição da variável aleatória
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos que o número de clientes que chegam por hora em um estabelecimento segue uma distribuição de Poisson com média de 10 clientes por hora. A pergunta quer saber qual é a distribuição da variável aleatória $ T $, que representa o tempo, em horas, entre a chegada de dois clientes consecutivos.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre processos de Poisson e distribuições exponenciais, pois elas estão relacionadas quando falamos de tempos entre eventos em processos de chegada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição de Poisson. Ela modela o número de eventos que ocorrem em um intervalo de tempo fixo, quando esses eventos acontecem com uma taxa constante e de forma independente uns dos outros. No nosso caso, a taxa é de λ = 10 clientes por hora.
Passo 3
Agora, queremos saber sobre o tempo entre dois clientes que chegam, ou seja, o tempo entre dois eventos consecutivos no processo de Poisson. Aqui entra a distribuição exponencial. Essa distribuição descreve o tempo que leva para ocorrer o próximo evento em um processo de Poisson.
Passo 4
A distribuição exponencial tem um parâmetro λ que é igual à taxa de eventos por unidade de tempo do processo de Poisson. No nosso caso, como λ = 10 clientes por hora, a distribuição exponencial que descreve $ T $ também terá λ = 10.
Matematicamente, a função de densidade da distribuição exponencial é:
Passo 5
Então, concluímos que o tempo $ T $ entre a chegada de dois clientes consecutivos segue uma distribuição exponencial com parâmetro λ = 10.
Resposta
A variável aleatória $ T $ segue uma distribuição exponencial com parâmetro λ = 10, ou seja, $ T \sim Exponencial(10) $.