Um componente eletrônico de alta qualidade apresenta uma probabilidade de falha de cerca de 0,00001 . Certo comprador resolve avaliar um lote, para decidir ou não por uma grande compra. Se dois ou mais componentes do lote apresentarem defeito o negócio não será realizado. Calcule a probabilidade de realizar o negócio, de acordo com as condições abaixo.
O lote tem 2000 peças.

Passo 1

Neste exercício queremos a probabilidade de realizar o negócio quando um lote de 2000 peças, com falha em cada componente de probabilidade p=0,00001, é aceito somente se houver no máximo uma peça defeituosa. O conteúdo usado será a distribuição binomial.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X que conta o número de componentes defeituosos no lote. Como cada peça falha com probabilidade p e são n=2000 peças independentes, temos
X sim Binomial(n=2000,,p=0,00001)

Passo 3

O negócio é realizado se houver menos de 2 componentes defeituosos, isto é, se X<2. Então queremos calcular
P(X<2)=P(X<=1)=P(X=0)+P(X=1)

Passo 4

Pela fórmula da binomial,
P(X=0)=(1-p)^n, P(X=1)=n,p,(1-p)^n-1

Passo 5

Como p é muito pequeno e n grande, usamos a aproximação (1-p)^napprox e^-n p. Calculamos n p=2000times0,00001=0,02.

Passo 6

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P(X=0)approx e^-0.02approx0,9801987, P(X=1)approx2000times0,00001times e^-0.02=0,02times e^-0.02approx0,0196040

Passo 7

Somando as duas probabilidades,
P(X<=1)approx0,9801987+0,0196040=0,9998027

Resposta

A probabilidade de realizar o negócio é aproximadamente 0,99980 (ou 99,980%).

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