Um componente eletrônico de alta qualidade apresenta uma probabilidade de falha de cerca de 0,00001 . Certo comprador resolve avaliar um lote, para decidir ou não por uma grande compra. Se dois ou mais componentes do lote apresentarem defeito o negócio não será realizado. Calcule a probabilidade de realizar o negócio, de acordo com as condições abaixo.
O lote tem 200000 peças.

Passo 1

O enunciado diz que cada componente falha com probabilidade p=0,00001 de forma independente e que temos um lote de n=200000 peças. O comprador só fecha o negócio se houver no máximo uma peça com defeito. Vamos usar conceitos de distribuição binomial e sua aproximação por Poisson para calcular essa probabilidade.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X como o número de componentes com defeito no lote de n peças. Como cada peça falha com probabilidade p e as falhas são independentes, temos
XsimBinomial(n=200000,,p=0,00001)

Passo 3

A probabilidade de realizar o negócio é a probabilidade de ocorrer no máximo uma falha, ou seja
P(negócio)=P(X<=1)=P(X=0)+P(X=1) ó

Passo 4

Pela fórmula da binomial, temos
P(X=0)=(1-p)^n
e
P(X=1)=n,p,(1-p)^n-1

Passo 5

Como n é grande e p é pequeno, fica chato calcular (1-p)^n diretamente. Então usamos a aproximação de Poisson, em que
lambda=n,p=200000times0,00001=2
e
XapproxPoisson(lambda=2)

Passo 6

Na aproximação de Poisson,
P(X<=1)=e^-lambdal(1+lambdar)=e^-2(1+2)=3e^-2
Calculando numericamente,
e^-2approx0,135335Rightarrow3e^-2approx0,406

Resposta

A probabilidade de realizar o negócio é aproximadamente 0,406 (ou 40,6%).

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