Um componente eletrônico tem distribuição exponencial, com média de 50 horas. Suposta uma produção de 10000 unidades, quanto deles espera-se que durem entre 45 e 55 horas? Resp.: ^737.

Passo 1

O enunciado nos diz que o tempo de vida T de cada componente segue uma distribuição exponencial com média de 50 horas. Há uma produção de 10000 unidades e queremos saber quantas, em média, durarão entre 45 e 55 horas. Para isso, precisamos:
  1. Encontrar o parâmetro lambda da exponencial a partir da média.
  2. Calcular a probabilidade P(45<= T<=55).
  3. Multiplicar essa probabilidade por 10000.

Passo 2

A média de uma exponencial é 1lambda. Como a média é 50 horas, temos
lambda = 150

Passo 3

A função de distribuição acumulada (CDF) de uma exponencial é
F(t)=1 - e^-lambda t
Logo,
P(45<= T<=55) = F(55)-F(45) =l(1 - e^-lambdacdot55r) -l(1 - e^-lambdacdot45r) = e^-lambdacdot45 ;-; e^-lambdacdot55

Passo 4

Substituindo lambda=1/50, obtemos
e^-lambdacdot45 = e^-45/50 = e^-0,9 approx 0,4066,
e^-lambdacdot55 = e^-55/50 = e^-1,1 approx 0,3329
Portanto,
P(45<= T<=55) approx 0,4066 - 0,3329 = 0,0737

Passo 5

Multiplicando pela produção de 10000 unidades, o número esperado é
10000 times 0,0737 = 737

Resposta

737 componentes.

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