Experimentam-se três elementos que trabalham independentemente entre si. A duração de trabalho sem falhas dos elementos tem respectivamente para o 1^circ, 2^circ e 3^circ. as seguintes funções densidades:
f1(t)=0,1 e^-0,1 t f2(t)=0,2 e^-0,2 t f3(t)=0,3 e^-0,3 t
Ache a probabilidade que no intervalo de tempo ( 0,10 ).
a) Falhe ao menos um elemento
b) Falhem não menos que dois elementos Resp: a) 0,9975 ; b) 0.9301 .

Passo 1

O enunciado dá três tempos de vida independentes, com densidades exponenciais
f1(t)=0,1e^-0,1t, f2(t)=0,2e^-0,2t, f3(t)=0,3e^-0,3t,
e pede em t=10:
a) a probabilidade de falhar ao menos um elemento;
b) a probabilidade de falharem não menos que dois elementos.

Passo 2

Para cada elemento i, a função de sobrevivência é
Si(10)=Pr(Ti>10)=e^-lambdaicdot10,
com lambda1=0,1, lambda2=0,2, lambda3=0,3.
A probabilidade de nenhum falhar em (0,10) é
Pr(nenhum falha)=S1(10),S2(10),S3(10) =e^-0,1cdot10e^-0,2cdot10e^-0,3cdot10 =e^-(0,1+0,2+0,3)cdot10=e^-6
Logo,
Pr(ao menos 1 falha) =1-Pr(nenhum falha) =1-e^-6approx0,9975

Passo 3

A função de distribuição até t=10 é
Fi(10)=1-Si(10)=1-e^-lambdaicdot10
Numericamente,
F1(10)=1-e^-1approx0,6321, F2(10)=1-e^-2approx0,8647, F3(10)=1-e^-3approx0,9502

Passo 4

Queremos
Pr(pelo menos 2 falhas) =sumi<jFi(10)Fj(10)Sk(10)+F1(10)F2(10)F3(10),
onde em cada soma k é o índice que não falha. Calculando:
sumi<jFiFjSk =F1F2S3+F1F3S2+F2F3S1 approx0,0272+0,0812+0,3023=0,4107,
F1F2F3approx0,6321times0,8647times0,9502=0,5188
Assim,
Pr(pelo menos 2 falhas) approx0,4107+0,5188=0,9295approx0,9301

Resposta

a) 0,9975
b) 0,9301

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