O tempo de vida de certo dispositivo eletrônico é de 4.000 h e segue uma distribuição exponencial. Determine a probabilidade de que:
um dispositivo esteja funcionando no final de 2.000 h , dado que está funcionando no final de 1.000 h ;

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de vida T de um dispositivo é exponencial com média de 4.000 h. A taxa de falha (parâmetro) é
lambda = 14000
Queremos a probabilidade condicional de que o dispositivo funcione após 2.000 h, dado que ele já funciona após 1.000 h, ou seja,
Pl(T>2000 mid T>1000r)

Passo 2

Para uma variável exponencial aplica-se a propriedade de “sem memória”, mas também podemos fazer pela definição de probabilidade condicional:
Pl(T>2000 mid T>1000r) = P(T>2000 ;e; T>1000)P(T>1000) = P(T>2000)P(T>1000),
pois T>2000subsetT>1000.

Passo 3

Sabemos que para TsimExp(lambda) vale
P(T>t)=e^-lambda,t
Logo,
Pl(T>2000 mid T>1000r) = e^-lambdacdot2000e^-lambdacdot1000 = e^-lambda,(2000-1000) = e^-lambdacdot1000

Passo 4

Substituindo lambda = 1/4000,
e^-lambdacdot1000 = e^-14000cdot1000 = e^-0,25 approx 0,7788

Resposta

Pl(T>2000 mid T>1000r) = e^-0,25approx 0,7788

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