Em uma fábrica de chocolate verifica-se que os “bombons” são acondicionados automaticamente em caixas com aproximadamente 1 Kg . Verifica-se que 25,14 % das caixas tem peso inferior a 1 Kg . A máquina de acondicionamento foi regulada aumentando-se o peso médio da caixa de 3 g e verificou-se então que a porcentagem com peso inferior a 1 Kg foi de 12,5 %. Admitir distribuição normal.
a) Calcular a média e o desvio-padrão. b) De quanto deve ser novamente aumentado o peso médio para que essa porcentagem caia para 4 % ? Resp.: a) média =1,0042 Kg e desvio =0,0063 Kg b) 0,006825 g.

Passo 1

O peso das caixas pode ser modelado como Xsim N(mu,sigma^2). Sabemos que inicialmente
P(X<1) = 0,2514
e, após aumentar a média em 3 g (ou seja, 0,003 kg),
Pl(X<1r)=0,125
Vamos usar a padronização para escrever essas duas condições em termos de escores- Z.

Passo 2

Para a situação inicial,
P(X<1)=0,2514 Longrightarrow 1-musigma=z1,
onde z1=Phi^-1(0,2514)approx -0,6745.
Para a situação com média aumentada em 0,003 kg, a nova média é mu+0,003, logo
Pl(X<1r)=0,125 Longrightarrow 1-(mu+0,003)sigma=z2,
com z2=Phi^-1(0,125)approx -1,15035.

Passo 3

Temos o sistema
dfrac1-musigma = -0,6745,[1em] dfrac1-mu-0,003sigma = -1,15035
Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar mu, obtemos
(1-mu)-(1-mu-0,003)sigma = -0,6745 - (-1,15035) ;Longrightarrow; 0,003sigma=0,47585 ;Longrightarrow; sigma=0,0030,47585approx0,00630 kg ]

Passo 4

Para encontrar mu, voltamos à primeira equação:
1-mu0,00630=-0,6745 Longrightarrow 1-mu=-0,6745cdot0,00630approx-0,00425 Longrightarrow muapprox1,00425 kg

Passo 5

Agora b). Queremos que, com novo acréscimo k à média original,
Pl(X<1r)=0,04,
isto é, para Xsim N(mu+k,sigma^2),
1-(mu+k)sigma=z3,
onde z3=Phi^-1(0,04)approx -1,7507.

Passo 6

Da equação acima:
1-mu-k=-1,7507,sigma Longrightarrow k=1-mu+1,7507,sigma
Substituindo muapprox1,00425 e sigmaapprox0,00630:
kapprox (1-1,00425)+1,7507cdot0,00630 approx -0,00425+0,01103 approx0,00678 kg,
ou seja, aproximadamente 6,78 g.

Resposta

a) muapprox1,0042 kg e sigmaapprox0,0063 kg
b) Deve-se aumentar a média em cerca de 0,00678 kg (aprox. 6,78 g).

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