O tempo de vida de certo dispositivo eletrônico é de 4.000 h e segue uma distribuição exponencial. Determine a probabilidade de que:
num conjunto de 4 dispositivos, somente um queime antes de 3.000 h de funcionamento.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de vida T de cada dispositivo é exponencial com média de 4000 h. Precisamos encontrar a probabilidade de que, num conjunto de 4 dispositivos independentes, exatamente um falhe antes de 3000 h. O conteúdo é distribuição exponencial e distribuição binomial.

Passo 2

A taxa da exponencial é
lambda = 14000
A probabilidade de um dispositivo falhar antes de 3000 h é
p = P(T < 3000) = 1 - e^-lambda cdot 3000 = 1 - e^-0,75
Logo a probabilidade de sobreviver até 3000 h é 1 - p = e^-0,75.

Passo 3

Seja X o número de dispositivos que falham antes de 3000 h em um total de 4. Então
X sim Binomial(n=4,p),
e queremos
P(X = 1) = binom41,p,(1 - p)^3

Passo 4

Substituindo p = 1 - e^-0,75 e 1-p = e^-0,75 obtemos
P(X = 1) = 4 ,l(1 - e^-0,75r),l(e^-0,75r)^3

Passo 5

Numericamente, e^-0,75approx0,4724 e 1 - e^-0,75approx0,5276. Assim
P(X = 1) approx 4 times 0,5276 times (0,4724)^3 approx 0,223

Resposta

P(só 1 queime antes de 3000 h) = 4,(1 - e^-0,75),(e^-0,75)^3 approx 0,223 ó

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