1. (Movimento Vertical Controlado): Considere um sistema de elevação vertical (como um pequeno elevador de carga ou um eixo Z de uma máquina CNC) que, após atingir uma certa velocidade, inicia uma fase de desaceleração controlada. A aceleração vertical (considerando o eixo y positivo para cima) durante essa fase é modelada por a(t)= -9.8-0.5 e^-0.1 t m / s^2. Esta função inclui a gravidade e um componente de frenagem que diminui com o tempo. Se a velocidade vertical do sistema no início desta fase de desaceleração (t=0) era v(0)=10 m / s (para cima), qual será a sua velocidade vertical após 5 segundos de desaceleração?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema com aceleração vertical dada por
a(t) = -9.8 - 0.5,e^-0.1t
onde o eixo y positivo é para cima. Sabendo que a velocidade inicial na fase de desaceleração é v(0)=10,m/s, nosso objetivo é encontrar v(5). Para isso, vamos usar a relação
a(t) = dvdt
e integrar de 0 a 5 segundos.

Passo 2

Escrevemos a velocidade em função do tempo a partir da aceleração:
v(t) = v(0) + integral0^t a(s),ds
Logo,
v(t) = 10 + integral0^tl[-9.8 - 0.5,e^-0.1sr],ds

Passo 3

Vamos calcular a integral em dois termos. Primeiro,
integral0^t(-9.8),ds = -9.8,t
Em seguida,
integral0^tl(-0.5,e^-0.1sr),ds = -0.5integral0^te^-0.1s,ds = -0.5l[-10,e^-0.1sr]0^t = 5l(e^-0.1t-1r)

Passo 4

Somando os dois resultados na expressão de v(t):
v(t) = 10 + l[-9.8,t + 5(e^-0.1t-1)r]
Para t=5:
v(5) = 10 -9.8cdot5 + 5l(e^-0.5-1r) = 10 -49 +5e^-0.5-5 = -44 + 5e^-0.5

Passo 5

Agora calculamos numericamente, usando e^-0.5approx0.60653:
v(5)approx -44 + 5times0.60653 = -44 +3.03265 approx -40.97 m/s
O sinal negativo indica que, depois de 5 s, o movimento está voltado para baixo.

Resposta

A velocidade após 5 segundos é aproximadamente -40,97,m/s.

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