Um componente tem uma taxa média de falha de 0,002 falha/hora. Sabendo que a taxa de falhas é constante durante o período de análise, responda:
[0,50 ponto] Quanto à variável \mathrm{X}=\{ número de falhas em um determinado tempo \}, qual a distribuição de probabilidade mais adequada para modelar esta variável aleatória?
[ \mathbf{0 , 5 0} ponto] Para um tempo de 500 horas, qual a probabilidade de X ser exatamente igual que 2 ?
[0,50 ponto] Quanto à variável \mathrm{Y}=\{ empo até a falha \}, qual a distribuição de probabilidade mais adequada para modelar esta variável aleatória?
[ \mathbf{0 , 5 0} ponto] Para qual valor de Y a probabilidade de falha é igual a 10 \% ?

Passo 1

O enunciado diz que a taxa de falha é constante e igual a \lambda=0,002 falha/hora.
Definimos duas variáveis aleatórias:
\mathrm{X}= número de falhas em um intervalo de tempo (modelo de contagem)
\mathrm{Y}= tempo até a primeira falha (modelo de tempo de vida)
O conteúdo que vamos usar é processo de Poisson para contagem de falhas e distribuição exponencial para tempo até falha.

Passo 2

Como as falhas ocorrem segundo processo de Poisson com taxa constante, a variável
\mathrm{X}=\{\text{número de falhas em tempo }t\}ú
segue distribuição de Poisson com parâmetro \lambda t.

Passo 3

Para t=500 horas, o parâmetro é
\lambda t = 0,002 \times 500 = 1.
Logo,
P(\mathrm{X}=2) = \frac{(\lambda t)^{2}}{2!}e^{-\lambda t} = \frac{1^{2}}{2!}e^{-1} = \frac{1}{2}e^{-1} \approx 0,184.

Passo 4

O tempo até a primeira falha \mathrm{Y} em um processo de Poisson é modelado por distribuição exponencial com parâmetro \lambda=0,002.

Passo 5

Queremos y tal que P(\mathrm{Y}\le y)=0,10.
Na exponencial vale
P(\mathrm{Y}\le y)=1 - e^{-\lambda y}=0,10
e^{-\lambda y}=0,90 \quad\Longrightarrow\quad -\lambda y = \ln(0,90) \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{\ln(0,90)}{0,002} \approx 52,7\text{ horas}.

Resposta

(a) \mathrm{X}\sim Poisson \bigl(\lambda t\bigr).
(b) P(\mathrm{X}=2)=\tfrac12 e^{-1}\approx0,184.
(c) \mathrm{Y}\sim Exponencial \bigl(\lambda\bigr).
(d) y_{0,10}=-\ln(0,90)/0,002\approx52,7 horas.

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