Em uma fábrica, tipicamente, 3 \% das peças produzidas são defeituosas. Para avaliar a qualidade das peças, montou-se um lote com 100 peças, sendo 97 boas e 3 defeituosas, de onde foi extraída uma amostra de 10 peças (sem reposição).
[ \mathbf{1 , 0 0} ponto] Qual a probabilidade de ocorrer exatamente 2 peças defeituosas?
[ \mathbf{1 , 0 0} ponto] Qual a distribuição de probabilidade mais adequada para modelar este caso?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma população de N=100 peças, das quais K=3 são defeituosas e N-K=97 são boas. Extraímos uma amostra de tamanho n=10 sem reposição e queremos a probabilidade de obter exatamente 2 peças defeituosas nessa amostra. Para isso usamos a distribuição correta para amostragem sem reposição.

Passo 2

Quando extraímos sem reposição, a variável X = número de peças defeituosas na amostra segue a distribuição hipergeométrica com parâmetros N, K e n. A fórmula geral é
P(X = k) \;=\; \frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}\,.

Passo 3

Aplicando N=100, K=3, n=10 e k=2, temos
P(X=2) =\frac{\binom{3}{2}\,\binom{97}{8}}{\binom{100}{10}}.

Resposta

A probabilidade de ocorrer exatamente 2 peças defeituosas é
P(X=2) =\frac{\binom{3}{2}\,\binom{97}{8}}{\binom{100}{10}}.
A distribuição de probabilidade mais adequada é a distribuição hipergeométrica com parâmetros N=100, K=3 e n=10.

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