O treino de um determinado atleta inclui 10 voltas em uma pista oficial de atletismo. O tempo que o atleta faz cada volta pode ser modelados por uma distribuição normal com, média de 65 segundos e desvio padrão de 3 segundos. Considera o tempo de cada volta é independente dos outros.
PARTE 1
[0,50 ponto] Qual a probabilidade do tempo de cada volta superar 71 segundos?
[
ponto] Quanto à variável
Tempo total de treino
, que é a soma das 10 voltas, qual a distribuição de probabilidade mais adequada para modelar esta variável aleatória?
[
ponto] Qual a média e a variância do tempo total de treino?
[
ponto] Qual a probabilidade do treino superar 660 segundos?
[
ponto] Quanto à variável
{número de voltas que superam o tempo de 71 segundos}, qual a
PARTE 2 distribuição de probabilidade mais adequada para modelar esta variável aleatória?
[ 0,50 ponto] Qual a média e a variância do número de Y?
[
ponto] Qual a probabilidade de, pelo menos, uma volta que superam o tempo de 71 segundos durante todo o treino (de 10 voltas)?
[
[
[
[
PARTE 2 distribuição de probabilidade mais adequada para modelar esta variável aleatória?
[ 0,50 ponto] Qual a média e a variância do número de Y?
[
Passo 1
O enunciado diz que cada volta tem tempo
que é independente e segue
. São 10 voltas. Vamos usar propriedades da normal para cada volta e propriedade de soma de variáveis independentes para o total, além de modelo binomial para contar quantas voltas excedem 71 s.
Passo 2
Para cada volta temos
em que
. Pela tabela padrão,
, então
Passo 3
A soma das 10 voltas
é também normal, pois soma de normais independentes é normal. Logo
é também normal, pois soma de normais independentes é normal. Logo
Passo 4
Da parametrização acima segue
Passo 5
Para calcular
padronizamos:
Da tabela,
, portanto
Passo 6
Seja
.
Cada volta “excede 71 s” com probabilidade , independentemente, em 10 ensaios. Assim
Cada volta “excede 71 s” com probabilidade
Passo 7
Para a binomial vale
Passo 8
Queremos
. Com
,
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) ,
.
(d) .
(e) .
(f) ,
.
(g) .
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)