O treino de um determinado atleta inclui 10 voltas em uma pista oficial de atletismo. O tempo que o atleta faz cada volta pode ser modelados por uma distribuição normal com, média de 65 segundos e desvio padrão de 3 segundos. Considera o tempo de cada volta é independente dos outros.

PARTE 1

[0,50 ponto] Qual a probabilidade do tempo de cada volta superar 71 segundos?
[ \mathbf{0 , 5 0} ponto] Quanto à variável \mathrm{X}=\{ Tempo total de treino \}, que é a soma das 10 voltas, qual a distribuição de probabilidade mais adequada para modelar esta variável aleatória?
[ \mathbf{0 , 5 0} ponto] Qual a média e a variância do tempo total de treino?
[ \mathbf{0 , 5 0} ponto] Qual a probabilidade do treino superar 660 segundos?
[ \mathbf{0 , 5 0} ponto] Quanto à variável \mathrm{Y}= {número de voltas que superam o tempo de 71 segundos}, qual a
PARTE 2 distribuição de probabilidade mais adequada para modelar esta variável aleatória?
[ 0,50 ponto] Qual a média e a variância do número de Y?
[ \mathbf{1 , 0 0} ponto] Qual a probabilidade de, pelo menos, uma volta que superam o tempo de 71 segundos durante todo o treino (de 10 voltas)?

Passo 1

O enunciado diz que cada volta tem tempo T_i que é independente e segue \mathcal{N}(65,3^2). São 10 voltas. Vamos usar propriedades da normal para cada volta e propriedade de soma de variáveis independentes para o total, além de modelo binomial para contar quantas voltas excedem 71 s.

Passo 2

Para cada volta temos
P(T_i>71)=P\Bigl(Z>\tfrac{71-65}{3}\Bigr)=P(Z>2),
em que Z\sim\mathcal{N}(0,1). Pela tabela padrão, P(Z\le2)=0,97725, então
P(T_i>71)=1-0,97725=0,02275\approx0,0228.

Passo 3

A soma das 10 voltas
\displaystyle X=\sum_{i=1}^{10}T_i
é também normal, pois soma de normais independentes é normal. Logo
X\sim\mathcal{N}\bigl(10\cdot65,\;10\cdot3^2\bigr).

Passo 4

Da parametrização acima segue
E[X]=10\times65=650, \qquad \mathrm{Var}(X)=10\times9=90.

Passo 5

Para calcular P(X>660) padronizamos:
P(X>660) =P\Bigl(Z>\tfrac{660-650}{\sqrt{90}}\Bigr) =P\bigl(Z>1,054\bigr).
Da tabela, P(Z\le1,054)\approx0,853, portanto
P(X>660)\approx1-0,853=0,147\approx0,146.

Passo 6

Seja
\displaystyle Y=\#\{\text{voltas com }T_i>71\}.
Cada volta “excede 71 s” com probabilidade p=0,02275, independentemente, em 10 ensaios. Assim
Y\sim\mathrm{Binomial}(n=10,p=0,02275).

Passo 7

Para a binomial vale
E[Y]=n\,p=10\cdot0,02275=0,2275\approx0,228,
\mathrm{Var}(Y)=n\,p\,(1-p)=10\cdot0,02275\cdot0,97725\approx0,2227\approx0,223.

Passo 8

Queremos P(Y\ge1)=1-P(Y=0)=1-(1-p)^{10}. Com 1-p=0,97725,
P(Y\ge1)=1-0,97725^{10}\approx1-0,7947=0,2053\approx0,203.

Resposta

(a) P(T_i>71)=0,0228.
(b) X=\sum_{i=1}^{10}T_i\sim\mathcal{N}(650,90).
(c) E[X]=650, \mathrm{Var}(X)=90.
(d) P(X>660)\approx0,146.
(e) Y\sim\mathrm{Binomial}(10,0,0228).
(f) E[Y]=0,228, \mathrm{Var}(Y)=0,223.
(g) P(Y\ge1)\approx0,203.

Exercícios relacionados