Um engenheiro quer comparar as resistências à tração de barras de aço que são produzidas usando métodos diferentes. Para tal, o engenheiro seleciona aleatoriamente 5 barras de aço produzidas por cada um dos dois metodos. Os resultados dos ensaios ( \mathrm{em} \mathrm{N} / \mathrm{mm}^{2} ) foram:
Método A Método B
430-425-465-430-445 415-425-420-435-430
[ 0,5 ponto] Para um TESTE COM AMOSTRAS INDEPENDENTES (NÃO PAREADO), delincie o teste de hipóteses (apresente \mathrm{H}_{0} e \mathrm{H}_{1} em termos do parâmetro utilizado), supondo \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}, para avaliar se os métodos produzem aço com DIFERENTE resisténcia à tração. [ 0,5 ponto] Apresente a regra de decisão (intervalo em que se aceita e se rejeita \mathrm{H}_{0} ). Use \alpha=0,05.
[ 0,5 ponto] É possível afirmar que os métodos produzem aço com resistências à tração diferentes? Justifique.
OBS: Considere que as resistências à tração de barras de aço se comportam como Distribuiçös Normais.

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipóteses para comparar as médias de resistência à tração de duas amostras independentes (Método A e Método B), assumindo variâncias iguais. O conteúdo é o teste t de Student para duas amostras com variâncias homogêneas. Vamos precisar calcular médias, variâncias amostrais, variância agrupada, estatística de teste e usar a distribuição t com n_1+n_2-2 graus de liberdade.

Passo 2

Formulamos as hipóteses em termos da diferença de médias \mu_A-\mu_B:
H_0:\;\mu_A-\mu_B=0
H_1:\;\mu_A-\mu_B\neq0

Passo 3

Calculamos as estatísticas amostrais:
Amostra A ( n_1=5): 430,425,465,430,445
\bar x_A = \frac{430+425+465+430+445}{5} = 439,\quad s_A^2 = \frac{\sum(x_i-\bar x_A)^2}{4} = \frac{1070}{4}=267{,}5
Amostra B ( n_2=5): 415,425,420,435,430
\bar x_B = \frac{415+425+420+435+430}{5} = 425,\quad s_B^2 = \frac{\sum(x_i-\bar x_B)^2}{4} = \frac{250}{4}=62{,}5

Passo 4

Como \sigma_1^2=\sigma_2^2, a variância agrupada é
s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_A^2 + (n_2-1)s_B^2}{n_1+n_2-2} = \frac{4\cdot267{,}5 + 4\cdot62{,}5}{8} =165,
s_p = \sqrt{165}\approx12{,}85.
A estatística de teste é
t = \frac{\bar x_A - \bar x_B}{s_p\sqrt{\tfrac1{n_1}+\tfrac1{n_2}}} = \frac{439-425}{12{,}85\sqrt{0,2+0,2}} \approx1{,}72.

Passo 5

Com nível de significância \alpha=0{,}05 e df=5+5-2=8, o valor crítico bilateral é
t_{0{,}025,\,8}\approx2{,}306.
Regra de decisão:
aceita H_0 se \lvert t\rvert \le2{,}306
rejeita H_0 se \lvert t\rvert >2{,}306.

Passo 6

Como \lvert t\rvert=1{,}72\le2{,}306, não rejeitamos H_0.

Resposta

H_{0}: \mu_A-\mu_B=0 H_{1}: \mu_A-\mu_B\neq0
Aceita-se H_{0} se \lvert t\rvert\le2{,}306; rejeita-se H_{0} se \lvert t\rvert>2{,}306.
Como o valor calculado t\approx1{,}72 satisfaz \lvert t\rvert\le2{,}306, não há evidência estatística para afirmar diferença entre as resistências médias dos dois métodos.

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