Dê as componentes (ou coordenadas) do vetor v in V em relação à base B em cada caso:
V=R^3, v=(1,2,1) e B=(1,2,-1),(0,1,1),(0,0,2);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar as coordenadas do vetor v = (1, 2, 1) no espaço R^3 em relação à base B = (1, 2, -1), (0, 1, 1), (0, 0, 2) . Pra isso, vamos usar o conceito de combinação linear, ou seja, expressar v como uma combinação dos vetores da base B .

Passo 2

Primeiro, vamos representar o vetor v como uma combinação linear dos vetores da base B . Isso significa que queremos encontrar escalares a , b e c tais que:
v = a cdot (1, 2, -1) + b cdot (0, 1, 1) + c cdot (0, 0, 2)

Passo 3

Agora, vamos expandir essa combinação:
(1, 2, 1) = a cdot (1, 2, -1) + b cdot (0, 1, 1) + c cdot (0, 0, 2)
Isso resulta em:
(1, 2, 1) = (a, 2a, -a) + (0, b, b) + (0, 0, 2c)

Passo 4

Somando os componentes correspondentes, temos:
(1, 2, 1) = (a, 2a + b, -a + b + 2c)
Isso nos dá um sistema de equações:
a = 1 2a + b = 2 -a + b + 2c = 1

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo.
  1. Da primeira equação, já sabemos que a = 1 .
  2. Substituindo a = 1 na segunda equação:
2(1) + b = 2 Rightarrow 2 + b = 2 Rightarrow b = 0
  1. Agora, substituindo a = 1 e b = 0 na terceira equação:
-1 + 0 + 2c = 1 Rightarrow -1 + 2c = 1 Rightarrow 2c = 2 Rightarrow c = 1

Resposta

As coordenadas do vetor v = (1, 2, 1) em relação à base B são (1,, 0,, 1) .

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