Seja o subespaço de gerado por e .
Seja o vetor , o conjunto gera ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um subespaço de gerado pelos vetores , , e . Além disso, tem o vetor . A pergunta é: o conjunto gera todo o espaço ?
Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de espaços vetoriais e combinações lineares. Basicamente, queremos ver se qualquer vetor em pode ser formado combinando esses vetores. Vamos verificar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
Nosso objetivo é ver se essas colunas são suficientes para gerar R^4 , ou seja, se o posto dessa matriz é 4.
Passo 3
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz e descobrir o posto dela. O posto é o número máximo de colunas linearmente independentes.
Primeiro, observamos que a primeira coluna tem um 1 na primeira linha, então vamos usá-lo para eliminar os demais elementos na primeira coluna.
Subtraindo a primeira coluna das demais conforme necessário.