Seja S o subespaço de R^4 gerado por u=(1,-1,0,0), v=(0,0,1,1), w=(-2,2,1,1) e q=(1,0,0,0).
Seja o vetor t=(1,0,0,1), o conjunto u, v, w, q, t gera R^4?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um subespaço S de R^4 gerado pelos vetores u = (1, -1, 0, 0) , v = (0, 0, 1, 1) , w = (-2, 2, 1, 1) e q = (1, 0, 0, 0) . Além disso, tem o vetor t = (1, 0, 0, 1) . A pergunta é: o conjunto u, v, w, q, t gera todo o espaço R^4 ?
Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de espaços vetoriais e combinações lineares. Basicamente, queremos ver se qualquer vetor em R^4 pode ser formado combinando esses vetores. Vamos verificar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
1 & 0 & -2 & 1 & 1 -1 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1
Nosso objetivo é ver se essas colunas são suficientes para gerar R^4 , ou seja, se o posto dessa matriz é 4.

Passo 3

Vamos usar o método de eliminação de Gauss para reduzir a matriz e descobrir o posto dela. O posto é o número máximo de colunas linearmente independentes.
Primeiro, observamos que a primeira coluna tem um 1 na primeira linha, então vamos usá-lo para eliminar os demais elementos na primeira coluna.
Subtraindo a primeira coluna das demais conforme necessário.
Após a redução, a matriz fica:
1 & 0 & -2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1

Passo 4

Agora, vamos olhar para a segunda coluna. Temos um 1 na terceira linha. Vamos usar isso para eliminar o 1 na quarta linha.
Subtraindo a terceira coluna da quarta, obtemos:
1 & 0 & -2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1

Passo 5

Percebemos que a segunda e a quarta linhas têm zeros em todas as colunas exceto a quinta. Isso indica que há dependência linear entre os vetores.
O posto da matriz é menor que 4, o que significa que os vetores não são suficientes para gerar todo o espaço R^4 .

Resposta

Não, o conjunto u, v, w, q, t não gera todo o espaço R^4 .

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